(2,0) Encontre a solução do PVI abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(1)=2 \\\ y^{\prime}(2)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} x^{2}y^{\prime\prime}-3x y^{\prime}+4y=0,\\[4pt] y(1)=2,\\[4pt] y^{\prime}(2)=0. \end{array}\right.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para x no domínio onde a equação faz sentido e que satisfaça as condições iniciais dadas em x=1 e x=2. Observação prática: as condições estão em pontos positivos ( 1 e 2), então é natural trabalhar no domínio x>0 (isso permite usar \ln x sem problemas).]

Passo 2

Observando a equação, os coeficientes são potências de x ( x^{2} multiplicando y'', x multiplicando y'), o que sugere tentar uma solução do tipo potência. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=x^{r},
onde r é uma constante a determinar. Agora calculamos as derivadas de y (regra de potência):
y'(x)=r x^{r-1},\qquad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-3x\bigl(r x^{r-1}\bigr)+4x^{r}=0.
Simplificando os fatores x^{r} (todos os termos têm o mesmo fator x^{r}), obtemos a equação característica para r:
r(r-1)-3r+4=0.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r(r-1)-3r+4 = r^{2}-r-3r+4 = r^{2}-4r+4.
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0.
Portanto a raiz é \,r=2 com multiplicidade 2 (raiz dupla). Para equações do tipo Euler–Cauchy, se a equação característica tem uma raiz dupla r, a solução geral da ODE é
y(x)=C_{1}x^{r}+C_{2}x^{r}\ln x.
Aplicando aqui r=2, a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve justificativa: o termo extra x^{r}\ln x aparece análogo ao caso de raízes repetidas em equações com coeficientes constantes; é a segunda solução linearmente independente.)

Passo 4

Agora vamos computar y(1) para aplicar a primeira condição inicial. Substituindo x=1 na solução geral:
y(1)=C_{1}\cdot 1^{2}+C_{2}\cdot 1^{2}\ln 1 = C_{1}+C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
A condição é y(1)=2, logo
C_{1}=2.

Passo 5

Precisamos agora da derivada y'(x) para usar a condição y'(2)=0. Derivando
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln x
usando a regra do produto para o segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln x\bigr)=2x\ln x + x,
então
y'(x)=2C_{1}x + C_{2}\bigl(2x\ln x + x\bigr).
Fatorando x:
y'(x)=x\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}\ln x\bigr).
Agora aplicamos x=2 e a condição y'(2)=0:
y'(2)=2\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}\ln 2\bigr)=0.
Dividindo por 2:
2C_{1}+C_{2}+2C_{2}\ln 2=0.
Substituindo C_{1}=2:
2\cdot 2 + C_{2}\bigl(1+2\ln 2\bigr)=0,
ou seja
4 + C_{2}\bigl(1+2\ln 2\bigr)=0.
Isolando C_{2}:
C_{2}=-\dfrac{4}{1+2\ln 2}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=2x^{2}-\dfrac{4}{1+2\ln 2}\,x^{2}\ln x.
Opcionalmente fatorando x^{2}:
y(x)=x^{2}\left(2-\dfrac{4\ln x}{1+2\ln 2}\right).

Resposta

y(x)=2x^{2}-\dfrac{4}{1+2\ln 2}\,x^{2}\ln x

Exercícios relacionados