O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para x no domínio onde a equação faz sentido e que satisfaça as condições iniciais dadas em x=1 e x=2. Observação prática: as condições estão em pontos positivos (1 e 2), então é natural trabalhar no domínio x>0 (isso permite usar \ln x sem problemas).]
Passo 2
Observando a equação, os coeficientes são potências de x (x^{2} multiplicando y'', x multiplicando y'), o que sugere tentar uma solução do tipo potência. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=x^{r},
onde r é uma constante a determinar. Agora calculamos as derivadas de y (regra de potência):
y'(x)=r x^{r-1},\qquad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial:
Simplificando os fatores x^{r} (todos os termos têm o mesmo fator x^{r}), obtemos a equação característica para r:
r(r-1)-3r+4=0.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
r(r-1)-3r+4 = r^{2}-r-3r+4 = r^{2}-4r+4.
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0.
Portanto a raiz é \,r=2 com multiplicidade 2 (raiz dupla). Para equações do tipo Euler–Cauchy, se a equação característica tem uma raiz dupla r, a solução geral da ODE é
y(x)=C_{1}x^{r}+C_{2}x^{r}\ln x.
Aplicando aqui r=2, a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Breve justificativa: o termo extra x^{r}\ln x aparece análogo ao caso de raízes repetidas em equações com coeficientes constantes; é a segunda solução linearmente independente.)
Passo 4
Agora vamos computar y(1) para aplicar a primeira condição inicial. Substituindo x=1 na solução geral: