(a) (1,0) Encontre as soluções fundamentais da equação homogênea associada.
(b) (1,0) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular y_{p} para a equação não homogênea e encontre a solução geral da equação dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea:
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=9x.
As perguntas são:
(a) Encontre as soluções fundamentais da equação homogênea associada (ou seja, da equação com o lado direito igual a zero).
(b) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular y_{p} da equação não homogênea e, em seguida, a solução geral da equação dada.
Informações relevantes dadas:
A equação é linear, de coeficientes constantes, com termo não homogêneo 9x.
O enunciado determina explicitamente que se use o método da variação dos parâmetros no item (b).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada: escrever a equação homogênea e formar a equação característica. A homogênea é
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica:
r^{2}-4r+3=0.
Agora resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos fatorar:
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
logo as raízes são r=1 e r=3.
Passo 3
A partir das raízes distintas r=1 e r=3 concluímos que duas soluções fundamentais (linearmente independentes) da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x}, \qquad y_{2}(x)=e^{3x}.
Breve justificativa da independência: o Wronskiano W(y_{1},y_{2}) é
Novamente integração por partes: tome a=x, db=e^{-3x}dx. Então da=dx e b=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}. Assim
\int x e^{-3x}\,dx = -\dfrac{x}{3}e^{-3x} - \dfrac{1}{9}e^{-3x} + C = -\dfrac{3x+1}{9}e^{-3x}+C.
Multiplicando por \dfrac{9}{2} e escolhendo constante zero,
u_{2}=-\dfrac{3x+1}{2}e^{-3x}.
Comentário sobre constantes de integração: incluir constantes em u_{1} ou u_{2} apenas reproduz combinações das soluções homogêneas; por convenção escolhemos as constantes zero para obter uma única solução particular.
Passo 7
Construir a solução particular y_{p} usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo os resultados: