Resolva os itens abaixo considerando a equação
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=9 x
(a) (1,0) Encontre as soluções fundamentais da equação homogênea associada.
(b) (1,0) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular y_{p} para a equação não homogênea e encontre a solução geral da equação dada.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea:
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=9x.
As perguntas são:
  • (a) Encontre as soluções fundamentais da equação homogênea associada (ou seja, da equação com o lado direito igual a zero).
  • (b) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular y_{p} da equação não homogênea e, em seguida, a solução geral da equação dada.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, com termo não homogêneo 9x.
  • O enunciado determina explicitamente que se use o método da variação dos parâmetros no item (b).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada: escrever a equação homogênea e formar a equação característica. A homogênea é
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica:
r^{2}-4r+3=0.
Agora resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos fatorar:
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
logo as raízes são r=1 e r=3.

Passo 3

A partir das raízes distintas r=1 e r=3 concluímos que duas soluções fundamentais (linearmente independentes) da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x}, \qquad y_{2}(x)=e^{3x}.
Breve justificativa da independência: o Wronskiano W(y_{1},y_{2}) é
W(y_{1},y_{2})= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{vmatrix} = e^{x}\cdot 3e^{3x} - e^{x}\cdot e^{3x} = 2e^{4x}\neq 0
para todo x, portanto as funções são linearmente independentes.]

Passo 4

Preparar o método da variação dos parâmetros. A ideia: procurar uma solução particular y_{p}\) da forma \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{3x} são as soluções fundamentais encontradas e u_{1},u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}=0
para simplificar cálculos; então a segunda equação que vem da substituição é
u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}=9x,
pois o lado direito da equação original é 9x.
Estas duas equações lineares para u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime} são:
\begin{cases} u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}=0,\\[4pt] u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}=9x. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema para obter u_{1}^{\prime}\] e \(u_{2}^{\prime}.]

Passo 5

Resolver o sistema para u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime}. Usamos a fórmula direta (obtida por resolver o sistema usando o Wronskiano):
u_{1}^{\prime}=-\dfrac{9x\,y_{2}}{W(y_{1},y_{2})}, \qquad u_{2}^{\prime}=\dfrac{9x\,y_{1}}{W(y_{1},y_{2})}.
Já calculamos o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})=2e^{4x}.
Substituindo y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{3x} obtemos:
u_{1}^{\prime}=-\dfrac{9x\,e^{3x}}{2e^{4x}}=-\dfrac{9}{2}x e^{-x},
u_{2}^{\prime}=\dfrac{9x\,e^{x}}{2e^{4x}}=\dfrac{9}{2}x e^{-3x}.

Passo 6

Integrar para obter u_{1} e u_{2}. Vamos integrar cada uma cuidadosamente usando integração por partes.
Para u_{1}:
u_{1}=\int u_{1}^{\prime}\,dx=\int -\dfrac{9}{2}x e^{-x}\,dx.
Fazemos integração por partes com a=x e db=e^{-x}dx. Então da=dx e b=-e^{-x}. Assim
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.
Multiplicando por -\dfrac{9}{2} temos (escolhendo a constante de integração zero — ver comentário abaixo)
u_{1}=\dfrac{9}{2}(x+1)e^{-x}.
Para u_{2}:
u_{2}=\int u_{2}^{\prime}\,dx=\int \dfrac{9}{2}x e^{-3x}\,dx.
Novamente integração por partes: tome a=x, db=e^{-3x}dx. Então da=dx e b=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}. Assim
\int x e^{-3x}\,dx = -\dfrac{x}{3}e^{-3x} - \dfrac{1}{9}e^{-3x} + C = -\dfrac{3x+1}{9}e^{-3x}+C.
Multiplicando por \dfrac{9}{2} e escolhendo constante zero,
u_{2}=-\dfrac{3x+1}{2}e^{-3x}.
Comentário sobre constantes de integração: incluir constantes em u_{1} ou u_{2} apenas reproduz combinações das soluções homogêneas; por convenção escolhemos as constantes zero para obter uma única solução particular.

Passo 7

Construir a solução particular y_{p} usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo os resultados:
u_{1}y_{1}=\dfrac{9}{2}(x+1)e^{-x}\cdot e^{x}=\dfrac{9}{2}(x+1),
u_{2}y_{2}=-\dfrac{3x+1}{2}e^{-3x}\cdot e^{3x}=-\dfrac{3x+1}{2}.
Somando:
y_{p}=\dfrac{9}{2}(x+1)-\dfrac{3x+1}{2}=\dfrac{9x+9-3x-1}{2}=\dfrac{6x+8}{2}=3x+4.
Verificação rápida (importante para a prova): calcule y_{p}^{\prime}=3 e y_{p}^{\prime\prime}=0. Substituindo na equação,
0-4\cdot 3 +3(3x+4) = -12 +9x+12 =9x,
o que coincide com o lado direito. Portanto y_{p}=3x+4 está correta.

Passo 8

Escrever a solução geral da equação não homogênea. A solução geral é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+y_{p}(x).
Substituindo y_{p}:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+3x+4,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{x},\quad y_{2}(x)=e^{3x}.
(b) y_{p}(x)=3x+4.
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+3x+4.

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