Resolver em R as equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
(um número real). - A base da exponencial é
. - O lado direito é o número
.
O objetivo é encontrar todo
que satisfaça essa igualdade.
Passo 2
Tentar escrever
como potência de
é a ideia mais direta. Vou calcular potências de
até encontrar
:
Logo, pegamos do enunciado que
. Então a equação pode ser reescrita como
Passo 3
Agora uso uma propriedade fundamental das funções exponenciais de base positiva diferente de
: se
e
, então a função
é injetora, ou seja,
A razão intuitiva é que, para
,
cresce estritamente com
, e para
ela decresce estritamente; em ambos os casos não há dois expoentes diferentes que gerem o mesmo valor.
Aplicando essa propriedade com
(que é
) e comparando
, obtemos
Passo 4
Para reforçar, apresento um método alternativo usando logaritmos (útil quando não é óbvio escrever o número como potência da base). Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade
, vem
Como já vimos que
, tem-se
. Substituindo,
porque
.
Passo 5
Verificação rápida: calcular
, portanto
realmente satisfaz a equação. Dica para prova: sempre tente primeiro escrever o termo conhecido como potência da mesma base; se não der, use logaritmos. Fica mais rápido e seguro com prática — você consegue!