Resolver em R as equações exponenciais:
5^{x}=625

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
5^{x}=625.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (um número real).
  • A base da exponencial é 5.
  • O lado direito é o número 625.
O objetivo é encontrar todo x\in\mathbb{R} que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Tentar escrever 625 como potência de 5 é a ideia mais direta. Vou calcular potências de 5 até encontrar 625:
5^{1}=5,
5^{2}=25,
5^{3}=125,
5^{4}=625.
Logo, pegamos do enunciado que 625=5^{4}. Então a equação pode ser reescrita como
5^{x}=5^{4}.

Passo 3

Agora uso uma propriedade fundamental das funções exponenciais de base positiva diferente de 1: se a>0 e a\neq1, então a função a^{t} é injetora, ou seja,
a^{u}=a^{v}\quad\Rightarrow\quad u=v.
A razão intuitiva é que, para a>1, a^{t} cresce estritamente com t, e para 0<a<1 ela decresce estritamente; em ambos os casos não há dois expoentes diferentes que gerem o mesmo valor.
Aplicando essa propriedade com a=5 (que é >1) e comparando \,5^{x}=5^{4}, obtemos
x=4.

Passo 4

Para reforçar, apresento um método alternativo usando logaritmos (útil quando não é óbvio escrever o número como potência da base). Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(5^{x})=\ln(625).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a, vem
x\ln 5=\ln 625.
Como já vimos que 625=5^{4}, tem-se \ln 625=\ln(5^{4})=4\ln 5. Substituindo,
x\ln 5=4\ln 5 \quad\Rightarrow\quad x=4,
porque \ln 5\neq0.

Passo 5

Verificação rápida: calcular 5^{4}=5\cdot5\cdot5\cdot5=25\cdot25=625, portanto x=4 realmente satisfaz a equação. Dica para prova: sempre tente primeiro escrever o termo conhecido como potência da mesma base; se não der, use logaritmos. Fica mais rápido e seguro com prática — você consegue!

Resposta

x=4

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