O preço de um automóvel novo é
18000,00
15 %$ ao ano. Expresse a lei que dá o preço K desse automóvel após n anos de uso. E determine o preço do automóvel após 4 anos de uso.
Passo 1
O enunciado dá o preço inicial do automóvel e a taxa de desvalorização anual, e pede duas coisas:
- Dados: preço inicial
e desvalorização de ao ano. - Perguntas:
- Expressar a lei que dá o preço
desse automóvel após anos de uso. - Determinar o preço do automóvel após
anos de uso.
- Expressar a lei que dá o preço
Passo 2
Entendendo o que significa “desvalorização de
ao ano” (aula rápida e prática).
- Quando algo se desvaloriza
ao ano, a cada ano ele conserva a fração do preço do ano anterior. - Essa fração
é chamada de fator de retenção anual: multiplicando o preço de um ano pelo fator obtemos o preço do ano seguinte. - Se repetimos isso
vezes, multiplicamos por vezes: isto é uma potência . - Conclusão conceitual: o preço ao longo dos anos segue uma sequência geométrica (decresce exponencialmente) com razão
.
Passo 3
Montando a fórmula (passo a passo).
- Denotemos por
o preço após anos (pode escrever também , entendendo que depende de ). - O preço inicial (ano
) é . - Após um ano:
. - Após dois anos:
. - Em geral, após
anos:
Aqui cada símbolo significa:
-
: preço depois de anos; -
: preço inicial em reais; -
: fator de retenção anual (ou ); -
: número de anos de uso.
Passo 4
Calcular o preço após
anos usando a fórmula (contas detalhadas, sem calculadora).
- Usamos
. - Primeiro calcule
: - Em seguida
.
Vamos calcularmanualmente: - Agora multiplica pelo preço inicial:
- Arredondando para centavos (duas casas decimais), o preço fica
(em reais).
Passo 5
Verificação rápida por cálculo ano a ano (para ganhar confiança).
- Ano 0:
. - Ano 1:
. - Ano 2:
. - Ano 3:
. - Ano 4:
, que coincide com o resultado anterior; arredondando: .