O preço de um automóvel novo é \mathrm{R} \ 18000,00 . Ele sofre uma desvalorização deçã15 %$ ao ano. Expresse a lei que dá o preço K desse automóvel após n anos de uso. E determine o preço do automóvel após 4 anos de uso.

Passo 1

O enunciado dá o preço inicial do automóvel e a taxa de desvalorização anual, e pede duas coisas:
  • Dados: preço inicial \mathrm{R}\$\,18000{,}00 e desvalorização de 15\% ao ano.
  • Perguntas:
    1. Expressar a lei que dá o preço K desse automóvel após n anos de uso.
    2. Determinar o preço do automóvel após 4 anos de uso.

Passo 2

Entendendo o que significa “desvalorização de 15\% ao ano” (aula rápida e prática).
  • Quando algo se desvaloriza 15\% ao ano, a cada ano ele conserva a fração 1-0{,}15 = 0{,}85 do preço do ano anterior.
  • Essa fração 0{,}85 é chamada de fator de retenção anual: multiplicando o preço de um ano pelo fator 0{,}85 obtemos o preço do ano seguinte.
  • Se repetimos isso n vezes, multiplicamos por 0{,}85 n vezes: isto é uma potência 0{,}85^{n}.
  • Conclusão conceitual: o preço ao longo dos anos segue uma sequência geométrica (decresce exponencialmente) com razão 0{,}85.

Passo 3

Montando a fórmula (passo a passo).
  • Denotemos por K(n) o preço após n anos (pode escrever também K, entendendo que depende de n).
  • O preço inicial (ano 0) é K(0)=\mathrm{R}\$\,18000{,}00.
  • Após um ano: K(1)=K(0)\cdot0{,}85.
  • Após dois anos: K(2)=K(1)\cdot0{,}85=K(0)\cdot0{,}85^{2}.
  • Em geral, após n anos: K(n)=\mathrm{R}\$\,18000{,}00\cdot0{,}85^{n}.
Aqui cada símbolo significa:
  • K(n): preço depois de n anos;
  • 18000{,}00: preço inicial em reais;
  • 0{,}85: fator de retenção anual (ou 1-0{,}15);
  • n: número de anos de uso.

Passo 4

Calcular o preço após 4 anos usando a fórmula (contas detalhadas, sem calculadora).
  • Usamos \;K(4)=18000\cdot0{,}85^{4}.
  • Primeiro calcule \;0{,}85^{2}: 0{,}85^{2}=0{,}85\cdot0{,}85=0{,}7225.
  • Em seguida \;0{,}85^{4}=(0{,}85^{2})^{2}=0{,}7225^{2}.
    Vamos calcular 0{,}7225^{2} manualmente: 0{,}7225^{2}=0{,}52200625.
  • Agora multiplica pelo preço inicial: K(4)=18000\cdot0{,}52200625=9396{,}1125.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais), o preço fica 9396{,}11 (em reais).

Passo 5

Verificação rápida por cálculo ano a ano (para ganhar confiança).
  • Ano 0: K(0)=\mathrm{R}\$\,18000{,}00.
  • Ano 1: K(1)=18000\cdot0{,}85=\mathrm{R}\$\,15300{,}00.
  • Ano 2: K(2)=15300\cdot0{,}85=\mathrm{R}\$\,13005{,}00.
  • Ano 3: K(3)=13005\cdot0{,}85=\mathrm{R}\$\,11054{,}25.
  • Ano 4: K(4)=11054{,}25\cdot0{,}85=\mathrm{R}\$\,9396{,}1125, que coincide com o resultado anterior; arredondando: \mathrm{R}\$\,9396{,}11.

Resposta

K(n)=\mathrm{R}\$\,18000{,}00\cdot0{,}85^{n}
K(4)=\mathrm{R}\$\,9\,396{,}11

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