Uma empresa quer fabricar caixas de papelão (com tampa) de 50l, ou seja, 50000 cm^3. A largura da base da caixa deve ser o dobro da profundidade. Vamos chamar de x a medida da profundidade da caixa e de y a altura. O custo de produção da caixa é 2xy. Quais são as dimensões da caixa de modo que o custo total (área usada de papelão + custo de produção) seja o mínimo possível?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A empresa quer fazer caixas de papelão com capacidade de 50 litros, que é igual a 50000 , cm^3. A base da caixa tem que ser o dobro da profundidade. Vamos chamar a profundidade de x e a altura de y. O custo de produção é dado por 2xy. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa que fazem o custo total (a soma da área do papelão usado mais o custo de produção) ser o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular as áreas e de cálculo para minimizar a função de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar as dimensões da caixa com o volume. Sabemos que o volume V é dado por:
V = largura times profundidade times a<ura
Como a largura é o dobro da profundidade, temos que a largura é 2x. Então, substituindo na fórmula do volume:
50000 = 2x times x times y
Simplificando:
50000 = 2x^2y

Passo 3

Agora, queremos expressar y em função de x para facilitar nossa resolução. Vamos isolar y na equação:
2x^2y = 50000 y = 500002x^2 y = 25000x^2

Passo 4

Com y em função de x, vamos agora calcular a área total da caixa. A área total A de uma caixa com tampa é a soma das áreas das seis faces:
A = 2(largura times profundidade + largura times a<ura + profundidade times a<ura)
Substituindo a largura por 2x:
A = 2(2x times x + 2x times y + x times y) A = 2(2x^2 + 2xy + xy) A = 2(2x^2 + 3xy) A = 4x^2 + 6xy

Passo 5

O custo total C é a soma da área usada de papelão mais o custo de produção. Sabemos que o custo de produção é 2xy, então:
C = A + 2xy C = 4x^2 + 6xy + 2xy C = 4x^2 + 8xy
Agora, substituímos y pela expressão que encontramos anteriormente:
C = 4x^2 + 8x times 25000x^2 C = 4x^2 + 200000x

Passo 6

Para encontrar o valor de x que minimiza o custo, precisamos encontrar o mínimo da função C(x) = 4x^2 + 200000x. Para isso, vamos calcular a derivada de C em relação a x e igualar a zero:
C'(x) = ddx(4x^2 + 200000x) C'(x) = 8x - 200000x^2
Igualando a derivada a zero:
8x - 200000x^2 = 0 8x = 200000x^2 8x^3 = 200000 x^3 = 2000008 x^3 = 25000 x = raiz[3]25000 x = 29.15 , cm (aproximadamente)

Passo 7

Agora que temos o valor de x, podemos encontrar y usando a expressão que derivamos:
y = 25000x^2 y = 25000(29.15)^2 y approx 25000849.7 y approx 29.43 , cm

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo total são aproximadamente:
  • Profundidade ( x): 29.15 , cm
  • Largura: 2x = 58.30 , cm
  • Altura ( y): 29.43 , cm

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