Uma empresa quer fabricar caixas de papelão (com tampa) de
, ou seja,
. A largura da base da caixa deve ser o dobro da profundidade. Vamos chamar de
a medida da profundidade da caixa e de
a altura. O custo de produção da caixa é
. Quais são as dimensões da caixa de modo que o custo total (área usada de papelão + custo de produção) seja o mínimo possível?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A empresa quer fazer caixas de papelão com capacidade de 50 litros, que é igual a
. A base da caixa tem que ser o dobro da profundidade. Vamos chamar a profundidade de
e a altura de
. O custo de produção é dado por
. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa que fazem o custo total (a soma da área do papelão usado mais o custo de produção) ser o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular as áreas e de cálculo para minimizar a função de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar as dimensões da caixa com o volume. Sabemos que o volume
é dado por:
Como a largura é o dobro da profundidade, temos que a largura é
. Então, substituindo na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em função de
para facilitar nossa resolução. Vamos isolar
na equação:
Passo 4
Com
em função de
, vamos agora calcular a área total da caixa. A área total
de uma caixa com tampa é a soma das áreas das seis faces:
Substituindo a largura por
:
Passo 5
O custo total
é a soma da área usada de papelão mais o custo de produção. Sabemos que o custo de produção é
, então:
Agora, substituímos
pela expressão que encontramos anteriormente:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo, precisamos encontrar o mínimo da função
. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar
usando a expressão que derivamos:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo total são aproximadamente:
- Profundidade (
): - Largura:
- Altura (
):