Resolva utilizando frações parciais
integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2+5x+4x^2-2x+1,dx
usando frações parciais. Conteúdo: integração de função racional. Vamos primeiro checar se a fração é própria e, se necessário, fazer divisão polinomial antes da decomposição.

Passo 2

Como o grau do numerador ( 2) é igual ao grau do denominador ( 2), fazemos divisão dos polinômios para transformar em soma de um polinômio com uma fração própria. Dividindo, obtemos
x^2+5x+4x^2-2x+1 =1+7x+3(x-1)^2

Passo 3

Agora decompondo a parte própria
7x+3(x-1)^2 =Ax-1+B(x-1)^2
Multiplicando por (x-1)^2
7x+3=A(x-1)+B
Comparando coeficientes de x e termo constante segue
A=7, -A+B=3;Longrightarrow;B=10

Passo 4

Reescrevendo a integral com a decomposição:
integral x^2+5x+4x^2-2x+1,dx =integral 1,dx +integral 7x-1,dx +integral 10(x-1)^2,dx
Integramos cada parte:
integral 1,dx = x, integral 7x-1,dx = 7lnl|x-1r|, integral 10(x-1)^2,dx = 10integral (x-1)^-2dx =-10x-1

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, obtemos a antiderivada geral.

Resposta

x + 7lnl|x-1r| - 10x-1 + C

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