Resolva utilizando frações parciais
integral 3 x^22 x^3-x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x^22x^3-x^2-2x+1,dx
usando decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o denominador, expressar a função como soma de frações simples e depois integrar cada parte, usando que
integral tfracdxax+b = tfrac1aln|ax+b|.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador: testando x=1 obtemos raiz, então
2x^3-x^2-2x+1 = (x-1)(2x^2+x-1)
O trinômio 2x^2+x-1 tem De<a= 1+8=9 e raízes x=tfrac12 e x=-1, logo
2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)
e
2x^3-x^2-2x+1 = (x-1)(2x-1)(x+1)

Passo 3

Procuramos constantes A,B,C tais que
3x^2(x-1)(2x-1)(x+1) =Ax-1+B2x-1+Cx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(2x-1)(x+1)
3x^2 = A(2x-1)(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)(2x-1)
Expandindo,
(2A+B+2C)x^2+(A-3C)x+(-A-B+C)=3x^2
Igualando coeficientes:
1. coeficiente de x^2:
2A+B+2C=3
2. coeficiente de x:
A-3C=0
3. termo constante:
-A-B+C=0
Da segunda vem A=3C. Substituindo na terceira obtém-se B=-2C. Finalmente em
2A+B+2C=3
temos 6C-2C+2C=3, ou seja
6C=3, C=tfrac12, A=tfrac32, B=-1

Passo 4

Reescrevendo o integrando:
3x^22x^3-x^2-2x+1 =tfrac32x-1-12x-1+tfrac12x+1
Então
integral 3x^22x^3-x^2-2x+1,dx =32integraldxx-1 -integraldx2x-1 +12integraldxx+1
Sabendo que
integraldxx-1=ln|x-1|, integraldx2x-1=12ln|2x-1|, integraldxx+1=ln|x+1|,
resulta
integral 3x^22x^3-x^2-2x+1,dx =32ln|x-1| -12ln|2x-1| +12ln|x+1|+C

Resposta

32lnl|x-1r| -12lnl|2x-1r| +12lnl|x+1r|+C

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