A empresa de rádio Massa FM descobriu que o programa “As mais pedidas” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 ouvintes, enquanto o programa “Massa pop”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 ouvintes. No decorrer da semana, o patrocinador insiste no uso de, no mínimo, 5 minutos para a sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de ouvintes? Construa o modelo do problema.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas vezes por semana cada um dos dois programas deve ir ao ar de modo a maximizar o total de ouvintes, sujeito a restrições de tempo de música (no máximo 80 min) e de propaganda (pelo menos 5 min). É um problema de Programação Linear.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
x = número de vezes por semana do programa “As mais pedidas”
y = número de vezes por semana do programa “Massa pop”

Passo 3

A função-objetivo é maximizar o total de ouvintes: cada “As mais pedidas” atrai 30000 ouvintes e cada “Massa pop” atrai 10000. Assim,
Z = 30000\,x + 10000\,y.
As restrições são:
Propaganda ( 1 min por exibição) somando pelo menos 5 min:
x + y \ge 5,
Música ( 20 min por “As mais pedidas” e 10 min por “Massa pop”) somando no máximo 80 min:
20\,x + 10\,y \le 80,
e não-negatividade:
x \ge 0,\quad y \ge 0.

Passo 4

Para resolver, achamos os vértices da região viável. As retas de interesse são
x + y = 5 \quad\text{e}\quad 20\,x + 10\,y = 80 \implies 2\,x + y = 8.
Subtraindo as duas equações:
(2\,x + y) - (x + y) = 8 - 5 \;\Rightarrow\; x = 3,
y = 5 - x = 2.
Os outros pontos de fronteira com os eixos são (0,5) e (0,8).

Passo 5

Calculamos Z em cada vértice:
Em (0,5):
Z = 30000\cdot0 + 10000\cdot5 = 50000.
Em (0,8):
Z = 10000\cdot8 = 80000.
Em (3,2):
Z = 30000\cdot3 + 10000\cdot2 = 90000 + 20000 = 110000.
O valor máximo é 110000 ouvintes em (x,y)=(3,2).

Resposta

Devem ser veiculados 3 programas “As mais pedidas” e 2 programas “Massa pop” por semana.

Exercícios relacionados