Uma fábrica de ração para animais possui em estoque três misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova ração que apresente quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. A tabela a seguir apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e o seu custo, além das quantidades mínimas exigidas na nova ração.
% por kg
Ingrediente
Mistura 1
Mistura 2
Mistura 3
Exigência mínima (kg) por saco de 30kg
1
25
9
32
5
2
20
30
18
6
Custo/kg (R$)
0,30
0,25
0,28
O problema consiste em determinar a composição do saco de 30kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo.
% por kg | ||||
Ingrediente | Mistura 1 | Mistura 2 | Mistura 3 | Exigência mínima (kg) por saco de 30kg |
1 | 25 | 9 | 32 | 5 |
2 | 20 | 30 | 18 | 6 |
Custo/kg (R$) | 0,30 | 0,25 | 0,28 |
Passo 1
O enunciado pede que, para um saco de
,kg de ração, determinemos quantos quilos de cada uma das três misturas (
) devem entrar de modo a satisfazer as exigências mínimas de dois ingredientes e minimizar o custo.
Conteúdo: programação linear (PL) com 3 variáveis e 3 restrições (duas de nutrientes e uma de soma de quantidades).
Conteúdo: programação linear (PL) com 3 variáveis e 3 restrições (duas de nutrientes e uma de soma de quantidades).
Passo 2
Definimos as variáveis:
são, em kg, as quantidades das misturas 1, 2 e 3 no saco de
,kg.
A restrição de massa é
A restrição de massa é
As exigências mínimas em kg de cada nutriente dão:
O custo total a minimizar é
Passo 3
Para simplificar, expressamos
pela soma:
e substituímos nas desigualdades e no custo, reduzindo o problema a duas variáveis
.
Passo 4
Substituindo em cada restrição:
- Ingrediente 1:
- Ingrediente 2:
- Massa não ultrapassar
,kg:
além de
,
.
O custo torna-se
Passo 5
O polígono de viabilidade em
tem vértices nos cruzamentos destas retas:
E = com
e
;
A = com
e
;
C = com
e
;
D = com
e
.
E =
A =
C =
D =
Passo 6
Calculamos
em cada vértice:
Em E :
Em E
Em A
:
Em C
:
Em D
:
Passo 7
O menor custo ocorre em D, isto é em
,
. Daí
.
Resposta
Custo mínimo