Uma fábrica de ração para animais possui em estoque três misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova ração que apresente quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. A tabela a seguir apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e o seu custo, além das quantidades mínimas exigidas na nova ração.
% por kg
Ingrediente Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3 Exigência mínima (kg) por saco de 30kg
1 25 9 32 5
2 20 30 18 6
Custo/kg (R$) 0,30 0,25 0,28
O problema consiste em determinar a composição do saco de 30kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo.

Passo 1

O enunciado pede que, para um saco de 30,kg de ração, determinemos quantos quilos de cada uma das três misturas ( x_1,x_2,x_3) devem entrar de modo a satisfazer as exigências mínimas de dois ingredientes e minimizar o custo.
Conteúdo: programação linear (PL) com 3 variáveis e 3 restrições (duas de nutrientes e uma de soma de quantidades).

Passo 2

Definimos as variáveis:
\;x_1,x_2,x_3\ge0 são, em kg, as quantidades das misturas 1, 2 e 3 no saco de 30,kg.
A restrição de massa é
x_1 + x_2 + x_3 = 30.
As exigências mínimas em kg de cada nutriente dão:
0,25\,x_1 + 0,09\,x_2 + 0,32\,x_3 \;\ge\; 5,
0,20\,x_1 + 0,30\,x_2 + 0,18\,x_3 \;\ge\; 6.
O custo total a minimizar é
C = 0,30\,x_1 \;+\; 0,25\,x_2 \;+\; 0,28\,x_3.

Passo 3

Para simplificar, expressamos x_3 pela soma:
x_3 = 30 - x_1 - x_2,
e substituímos nas desigualdades e no custo, reduzindo o problema a duas variáveis x_1,x_2.

Passo 4

Substituindo em cada restrição:
  1. Ingrediente 1:
0{,}25\,x_1 + 0{,}09\,x_2 + 0{,}32(30 - x_1 - x_2)\;\ge\;5 \;\Longrightarrow\; 0{,}07\,x_1 + 0{,}23\,x_2 \;\le\;4{,}6.
  1. Ingrediente 2:
0{,}20\,x_1 + 0{,}30\,x_2 + 0{,}18(30 - x_1 - x_2)\;\ge\;6 \;\Longrightarrow\; 0{,}02\,x_1 + 0{,}12\,x_2 \;\ge\;0{,}6.
  1. Massa não ultrapassar 30,kg:
x_1 + x_2 \;\le\;30,
além de x_1\ge0, x_2\ge0.
O custo torna-se
C = 0{,}30\,x_1 + 0{,}25\,x_2 + 0{,}28(30 - x_1 - x_2) = 8{,}4 + 0{,}02\,x_1 - 0{,}03\,x_2.

Passo 5

O polígono de viabilidade em (x_1,x_2) tem vértices nos cruzamentos destas retas:
E = (0,5) com 0{,}02x_1+0{,}12x_2=0,6 e x_1=0;
A = (30,0) com x_1+x_2=30 e 0{,}02x_1+0{,}12x_2=0,6;
C = (14{,}375,\,15{,}625) com x_1+x_2=30 e 0{,}07x_1+0{,}23x_2=4,6;
D = (0,20) com x_1=0 e 0{,}07x_1+0{,}23x_2=4,6.

Passo 6

Calculamos C em cada vértice:
Em E (0,5):
C = 8{,}4 + 0 - 0{,}03\cdot5 = 8{,}25.
Em A (30,0):
C = 8{,}4 + 0{,}02\cdot30 - 0 = 9{,}0.
Em C (14{,}375,15{,}625):
C = 8{,}4 + 0{,}02\cdot14{,}375 - 0{,}03\cdot15{,}625 = 8{,}21875.
Em D (0,20):
C = 8{,}4 + 0 - 0{,}03\cdot20 = 7{,}8.

Passo 7

O menor custo ocorre em D, isto é em x_1=0, x_2=20. Daí x_3=30-0-20=10.

Resposta

x_1=0\text{ kg},\;x_2=20\text{ kg},\;x_3=10\text{ kg}
Custo mínimo R\$\,7{,}80 por saco de 30,kg.

Exercícios relacionados