Uma empresa do ramo petroquímico está avaliando a viscosidade cinemática de um novo fluido hidráulico utilizado em sistemas de alta pressão. A especificação do projeto exige que a viscosidade média a 40^{\circ} \mathrm{C} seja de 32,0 \mathrm{~mm}^{2} / \mathrm{s}, pois variações podem afetar o desempenho do sistema. Para testar a conformidade de um novo lote, uma amostra de \mathrm{n}=12 medições foi coletada em laboratório, com os seguintes resultados ( \mathrm{em} \mathrm{mm}^{2} / \mathrm{s} ): média de 32 e desvio de 0,28.
(b) Aplique um teste adequado ao problema, com nível de significância de 5 \%.
(c) Determine o valor crítico e compare com o calculado.
(d) Apresente graficamente o valor-p associado ao teste.
(e) Interprete o resultado no contexto da engenharia: há evidência estatística de que a viscosidade do lote é diferente da esperada?

Passo 1

Temos uma amostra de tamanho n=12 com média amostral \bar x = 32{,}0\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s} e desvio-padrão amostral s=0{,}28\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}. Queremos testar, ao nível de significância de 5\%, se a viscosidade média \mu difere do valor de especificação \mu_0 = 32{,}0\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}. Como a variância populacional é desconhecida, usaremos o teste t de Student bilateral.

Passo 2

Hipóteses do teste:
H_0:\;\mu = 32{,}0 \quad\text{vs.}\quad H_1:\;\mu \neq 32{,}0.
Sob H_0, a estatística
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}}
segue a distribuição t com n-1=11 graus de liberdade.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a estatística de teste:
t \;=\;\frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \;=\; \frac{32{,}0 - 32{,}0}{0{,}28/\sqrt{12}}.
Como \bar x - \mu_0 = 0, temos
t_{\rm calc} = \frac{0}{0{,}28/\sqrt{12}} =0.

Passo 4

No teste bilateral ao nível \alpha=0{,}05 com 11 graus de liberdade, os valores críticos são
t_{0{,}975,\,11}\approx 2{,}201 \quad\Longrightarrow\quad \text{Região de rejeição: }t<-2{,}201\\ \text{ou}\\ t>2{,}201.ãçã

Passo 5

Como t_{\rm calc}=0 cai dentro do intervalo [-2{,}201,\;2{,}201], não rejeitamos H_0.

Passo 6

O valor- p de um teste bilateral é
p = 2\bigl[1 - F_{t_{11}}(|t_{\rm calc}|)\bigr].
Como |t_{\rm calc}|=0 e F_{t_{11}}(0)=0{,}5, obtemos
p = 2(1-0{,}5) = 1.
Apresentação gráfica (esquemática) do valor- p:
f(t) densidade t_{11}
/\
/ \
/ \
_/ _
←───────────→
área sombreada = valor- p =1
No gráfico, a linha vertical em t=0 divide a curva em duas caudas iguais cuja soma é 1.

Passo 7

Como p=1>0{,}05 e t_{\rm calc} não está na região de rejeição, não há evidência estatística para afirmar que a viscosidade média difira de 32{,}0\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}.

Resposta

Não rejeita-se H_0. Não há evidência de que a viscosidade do lote seja diferente de 32{,}0\\ \mathrm{mm}^2/\mathrm{s}.

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