A renda de um conjunto de pessoas de uma certa região tem média 6 s.m. (salários mínimos) e desvio padrão de 2 s.m. Se desta população for extraída uma amostra de \mathrm{n}=100 pessoas, qual a probabilidade de a média desta amostra acuse um valor superior a 6,3 s.m?

Passo 1

O enunciado diz que a renda de uma população tem média \mu=6 s.m. e desvio padrão \sigma=2 s.m. e que vamos extrair uma amostra de n=100 indivíduos. A pergunta é qual a probabilidade de a média amostral \bar{X} exceder 6,3 s.m. O conteúdo necessário é a distribuição amostral da média e o Teorema Central do Limite (TCL).

Passo 2

Pelo TCL (ou assumindo que a população já seja normalmente distribuída), a média amostral \bar{X}$ tem distribuição \[\bar{X}\sim N\bigl(\mu,\;\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigr)\] ou seja \[\bar{X}\sim N\bigl(6,\;2/\sqrt{100}\bigr) =N(6,0,2) \quad\text{com desvio padrão }0,2.\]

Passo 3

Padronizamos \bar{X} para uma variável Z padrão:
Z=\frac{\bar{X}-6}{0,2}.
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P(\bar{X}>6,3) =P\Bigl(Z>\frac{6,3-6}{0,2}\Bigr) =P(Z>1,5).

Passo 4

Usando tabela da distribuição normal padrão, \Phi(1,5)\approx0,9332. Assim
P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668.

Resposta

A probabilidade de a média amostral exceder 6,3 s.m. é aproximadamente 0,0668 (ou 6,68\%).

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