Em uma empresa, a receita total na venda de um produto é dada pela função R T(q)=-0,001 q^{2}+10 q, em que q é quantidade. O custo para a produção deste produto é dado pela função C T(q)=2 q+12.000. Encontre a quantidade que maximiza o lucro desta empresa. (verifique as condições de 1^{\text {a }}. e 2^{\text {a }}. ordens).

Passo 1

O enunciado dá a receita total na venda de um produto
RT(q) = -0,001\,q^{2} + 10\,q
e o custo de produção
CT(q) = 2\,q + 12\,000.
Queremos achar a quantidade q que maximiza o lucro. O conteúdo usado aqui é cálculo diferencial: montamos a função lucro, igualamos sua derivada a zero (condição de primeira ordem) e usamos a segunda derivada para confirmar que é máximo (condição de segunda ordem).

Passo 2

Definimos a função lucro P(q) como receita menos custo. Assim,
P(q) = RT(q) - CT(q) = \bigl(-0,001\,q^{2} + 10\,q\bigr) - \bigl(2\,q + 12\,000\bigr) = -0,001\,q^{2} + 8\,q - 12\,000.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira de P(q) e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
P'(q) = \frac{d}{dq}\bigl(-0,001\,q^{2} + 8\,q - 12\,000\bigr) = -0,002\,q + 8.
Da condição P'(q)=0 vem
-0,002\,q + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{8}{0,002} = 4\,000.

Passo 4

Verificamos a segunda derivada para confirmar que esse ponto é máximo:
P''(q) = \frac{d}{dq}\bigl(-0,002\,q + 8\bigr) = -0,002 < 0.
Como P''(q)<0, o ponto q=4\,000 é de fato um máximo local (e global, dada a forma quadrática).

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é q = 4\,000 unidades.

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