Em uma empresa, a receita total na venda de um produto é dada pela função
, em que q é quantidade. O custo para a produção deste produto é dado pela função
. Encontre a quantidade que maximiza o lucro desta empresa. (verifique as condições de
. e
. ordens).
Passo 1
O enunciado dá a receita total na venda de um produto
e o custo de produção
Queremos achar a quantidade
que maximiza o lucro. O conteúdo usado aqui é cálculo diferencial: montamos a função lucro, igualamos sua derivada a zero (condição de primeira ordem) e usamos a segunda derivada para confirmar que é máximo (condição de segunda ordem).
Passo 2
Definimos a função lucro
como receita menos custo. Assim,
Passo 3
Calculamos a derivada primeira de
e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Da condição
vem
Passo 4
Verificamos a segunda derivada para confirmar que esse ponto é máximo:
Como
, o ponto
é de fato um máximo local (e global, dada a forma quadrática).
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro é
unidades.