Se a função demanda for p(x)=20-2 x, obtenha a receita marginal e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função demanda
p(x) = 20 - 2x
e pede a receita marginal. O conteúdo aqui é receita total e derivada. Para resolver, vamos:
  1. Definir a receita total R(x).
  2. Calcular a derivada R'(x).
  3. Interpretar o significado de R'(x).

Passo 2

A receita total é o valor obtido ao vender x unidades ao preço p(x). Logo,
R(x) = x \, p(x) = x\,(20 - 2x).
Expandindo,
R(x) = 20x - 2x^2.

Passo 3

A receita marginal é a derivada de R(x) em relação a x. Calculamos
R'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(20x - 2x^2\bigr) = 20 - 4x.

Passo 4

Interpretando R'(x):
– Para cada unidade adicional vendida, a receita total varia em aproximadamente R'(x).
– Como R'(x)=20-4x decresce com x, a cada nova unidade o ganho de receita cai.
– Quando x<5, R'(x)>0: vender mais ainda aumenta a receita.
– Em x=5, R'(5)=0: ponto de receita máxima.
– Para x>5, R'(x)<0: vender mais reduz a receita total.

Resposta

R'(x) = 20 - 4x.
Interpretação: R'(x) é o acréscimo de receita ao aumentar x em uma unidade; ele diminui linearmente e muda de positivo para negativo em x=5, indicando lucro máximo ao vender 5 unidades.

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