Obtenha os seguintes limites usado a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}-\frac{1}{x^{2}}\right]
Nota: x^{2} \operatorname{sen}^{2}(x) \approx x^{4}

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = \lim_{x\to0}\Bigl[\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}\Bigr]
e orienta usar a Regra de L’Hospital. Vamos então reescrever a diferença como um quociente para identificar a indetermina\c{c}~ao.

Passo 2

Reescrevendo a expressão num único quociente, temos
\frac{1}{\sin^{2}x}-\frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{2}\,\sin^{2}x}.

Passo 3

Ao fazermos x\to0, o numerador x^{2}-\sin^{2}x\to0 e o denominador x^{2}\sin^{2}x\to0. Logo, \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 4

Denotando
f(x)=x^{2}-\sin^{2}x, \quad g(x)=x^{2}\sin^{2}x,
derivamos ambos:
f'(x)=2x-2\sin x\cos x, \quad g'(x)=2x\sin^{2}x+2x^{2}\sin x\cos x.

Passo 5

Ao avaliar x\to0 temos
f'(x)\to0-0=0, \quad g'(x)\to0+0=0,
outra vez \tfrac{0}{0}. 'E preciso aplicar L’Hospital pela segunda vez.

Passo 6

Derivando de novo, obtemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-2\sin x\cos x\bigr) =2 -2(\cos^{2}x-\sin^{2}x) =4\sin^{2}x,
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x\sin^{2}x+2x^{2}\sin x\cos x\bigr) =2\sin^{2}x+8x\sin x\cos x+2x^{2}(\cos^{2}x-\sin^{2}x).

Passo 7

Para x\to0 temos \sin^{2}x\sim x^{2} e x\sin x\cos x\sim x^{2}, ent~ao
f''(x)\sim4x^{2}, \quad g''(x)\sim2x^{2}+8x^{2}+2x^{2}=12x^{2}.
Logo, pelo L’Hospital duplo,
L=\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{g''(x)} =\frac{4x^{2}}{12x^{2}} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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