Obtenha os seguintes limites usado a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{e^x}
usando a Regra de L’Hopital. O conteúdo envolvido é o estudo de limites de funções que geram indeterminações do tipo \infty/\infty e a aplicação da derivada de \ln(x) e de e^x.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Ao fazermos x\to\infty, temos
\ln(x)\to\infty e e^x\to\infty,
portanto
\frac{\ln(x)}{e^x}
é do tipo \infty/\infty, o que nos autoriza a usar a Regra de L’Hopital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hopital, ou seja, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac1x}{e^x}.

Passo 4

Simplificamos a expressão resultante:
\frac{\tfrac1x}{e^x} =\frac{1}{x\,e^x}.
À medida que x\to\infty, o produto x\,e^x\to\infty, logo
\frac{1}{x\,e^x}\to0.

Resposta

0

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