Regras de Diferenciação e Aplicações em Economia

2.3 Regra do Quociente

  • A derivada do quociente de duas funções \frac{f(x)}{g(x)}
Exemplo: Calcule a derivada das funções abaixo:
  1. Seja C M(x)=\frac{C(x)}{x}, C(x)=50 x+100, encontre a função custo médio marginal.
  2. f(x)=\frac{2 x-3}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de duas funções definidas como quociente, usando a regra do quociente, que diz: se
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
então
h'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}.
Vamos aplicar esse procedimento em cada caso.

Passo 2

Função 1: CM(x)=\dfrac{C(x)}{x} com C(x)=50x+100. Identificamos
f(x)=50x+100,\quad f'(x)=50,
g(x)=x,\quad g'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
(CM)'(x) =\frac{50\cdot x - (50x+100)\cdot1}{x^2} =\frac{50x-50x-100}{x^2} =-\frac{100}{x^2}.

Passo 3

Função 2: f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}. Aqui
f_1(x)=2x-3,\quad f_1'(x)=2,
g_1(x)=x+1,\quad g_1'(x)=1.
Pela regra do quociente:
f'(x) =\frac{2\,(x+1)-(2x-3)\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^2} =\frac{5}{(x+1)^2}.

Resposta

(1) (CM)'(x)=-\dfrac{100}{x^2}.
(2) f'(x)=\dfrac{5}{(x+1)^2}.

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