Uma empresa de tecnologia aeroespacial está testando a estabilidade dimensional de uma nova liga metálica. Os pontos representam o comprimento de uma barra metálica (em metros) submetida a diferentes temperaturas (em graus Celsius):
- A
, o comprimento é
.
- A
, o comprimento é
.
- A
, o comprimento é
.
O objetivo é encontrar o Polinômio Interpolador de Gregory-Newton para prever o comprimento da barra quando a temperatura estiver em
.
Qual é o comprimento estimado da barra por esse método?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
-
Pontos dados (peguei estes valores do enunciado):
- Para
, o comprimento é . - Para
, o comprimento é . - Para
, o comprimento é .
- Para
-
O que é pedido: usar o Polinômio Interpolador de Gregory–Newton para estimar o comprimento quando
.
Passo 2
Por que usar Gregory–Newton (Newton–Gregory) e qual fórmula aplicar?
- Os pontos estão igualmente espaçados em temperatura:
, , . O espaçamento é (graus). - Para pontos igualmente espaçados costuma-se usar a fórmula de Gregory–Newton (forma forward ou backward). Aqui vou usar a forma forward com nó inicial em
. Isso é apropriado porque a fórmula é simples e os cálculos ficam diretos com diferenças progressivas. - Índices e notação:
- Denoto
o comprimento em , em , em . - Assim
, , (unidade ).
- Denoto
- Defino a variável adimensional
Para :
Passo 3
Calcular as diferenças finitas (a base do método). Explico o que é cada diferença:
- A primeira diferença forward
é . Ela mede a variação entre pontos consecutivos. - A segunda diferença forward
é . Ela mede a variação das primeiras diferenças (curvatura).
Agora calculemos:
-
Primeiro, os valores
: -
Primeiras diferenças:
- Segunda diferença:
(Interpretação rápida: a primeira diferença é a variação por
; a segunda diferença negativa indica que a taxa de aumento está ligeiramente diminuindo entre os intervalos.)
Passo 4
Escrever o polinômio de Gregory–Newton (forward) e truncá-lo conforme o número de pontos.
A forma geral truncada até ordem 2 (porque temos 3 pontos) é:
Aqui
significa
. Esta fórmula nasce da expansão em diferenças finitas análoga ao polinômio de Newton com termos
.
Passo 5
Substituir os valores calculados e avaliar termo a termo (faço as contas devagar para ficar na prova sem erro).
- Já temos
, , e .
Calcule cada termo:
-
Primeiro termo:
. -
Segundo termo:
. -
Terceiro termo:
.
Agora somar os termos:
Arredondando razoavelmente para apresentação (por exemplo, quatro casas decimais) dá
.
Passo 6
Cheque rápido de sanidade (estratégia prática para prova): comparar com interpolação linear entre
e
.
- Slope linear por grau entre
e : - Distância de
a é , então linear dá
O valor obtido por Gregory–Newton
é muito próximo do linear
, o que reforça que o resultado é razoável (a segunda diferença é pequena, então a curva está quase linear).