Uma empresa de tecnologia aeroespacial está testando a estabilidade dimensional de uma nova liga metálica. Os pontos representam o comprimento de uma barra metálica (em metros) submetida a diferentes temperaturas (em graus Celsius):
  • A 110^{\circ} \mathrm{C}, o comprimento é 2,041 \mathrm{~m}.
  • A 120^{\circ} \mathrm{C}, o comprimento é 2,079 \mathrm{~m}.
  • A 130^{\circ} \mathrm{C}, o comprimento é 2,114 \mathrm{~m}.
O objetivo é encontrar o Polinômio Interpolador de Gregory-Newton para prever o comprimento da barra quando a temperatura estiver em \mathrm{T}=127^{\circ} \mathrm{C}.
Qual é o comprimento estimado da barra por esse método?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Pontos dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Para T=110^\circ\mathrm{C}, o comprimento é 2,041\\ \mathrm{m}.
    • Para T=120^\circ\mathrm{C}, o comprimento é 2,079\\ \mathrm{m}.
    • Para T=130^\circ\mathrm{C}, o comprimento é 2,114\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido: usar o Polinômio Interpolador de Gregory–Newton para estimar o comprimento quando T=127^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Por que usar Gregory–Newton (Newton–Gregory) e qual fórmula aplicar?
  • Os pontos estão igualmente espaçados em temperatura: 110^\circ, 120^\circ, 130^\circ. O espaçamento é h=10 (graus).
  • Para pontos igualmente espaçados costuma-se usar a fórmula de Gregory–Newton (forma forward ou backward). Aqui vou usar a forma forward com nó inicial em T_0=110^\circ\mathrm{C}. Isso é apropriado porque a fórmula é simples e os cálculos ficam diretos com diferenças progressivas.
  • Índices e notação:
    • Denoto y_0 o comprimento em T_0=110^\circ\mathrm{C}, y_1 em 120^\circ\mathrm{C}, y_2 em 130^\circ\mathrm{C}.
    • Assim y_0=2,041, y_1=2,079, y_2=2,114 (unidade \mathrm{m}).
  • Defino a variável adimensional u = \frac{T-T_0}{h}.Para T=127^\circ\mathrm{C}: u = \frac{127-110}{10}=\frac{17}{10}=1,7.

Passo 3

Calcular as diferenças finitas (a base do método). Explico o que é cada diferença:
  • A primeira diferença forward \Delta y_i é \Delta y_i = y_{i+1}-y_i. Ela mede a variação entre pontos consecutivos.
  • A segunda diferença forward \Delta^2 y_i é \Delta^2 y_i = \Delta y_{i+1}-\Delta y_i. Ela mede a variação das primeiras diferenças (curvatura).
Agora calculemos:
  • Primeiro, os valores y_i:
    y_0=2,041,\qquad y_1=2,079,\qquad y_2=2,114.
  • Primeiras diferenças:
    \Delta y_0 = y_1-y_0 = 2,079-2,041 = 0,038.
\Delta y_1 = y_2-y_1 = 2,114-2,079 = 0,035.
  • Segunda diferença: \Delta^2 y_0 = \Delta y_1 - \Delta y_0 = 0,035-0,038 = -0,003.
(Interpretação rápida: a primeira diferença é a variação por 10^\circ; a segunda diferença negativa indica que a taxa de aumento está ligeiramente diminuindo entre os intervalos.)

Passo 4

Escrever o polinômio de Gregory–Newton (forward) e truncá-lo conforme o número de pontos.
A forma geral truncada até ordem 2 (porque temos 3 pontos) é:
P(T)=y_0 + u\,\Delta y_0 + \frac{u(u-1)}{2!}\,\Delta^2 y_0.
Aqui 2! significa 2\times1. Esta fórmula nasce da expansão em diferenças finitas análoga ao polinômio de Newton com termos u,\\ u(u-1),\\ u(u-1)(u-2),\ldots.

Passo 5

Substituir os valores calculados e avaliar termo a termo (faço as contas devagar para ficar na prova sem erro).
  • Já temos y_0=2,041, \Delta y_0=0,038, \Delta^2 y_0=-0,003 e u=1,7.
Calcule cada termo:
  • Primeiro termo: y_0 = 2,041.
  • Segundo termo: u\,\Delta y_0 = 1,7\times 0,038.
    1,7\times 0,038 = 0,0646.
  • Terceiro termo: \dfrac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 y_0.
    u(u-1)=1,7\times(1,7-1)=1,7\times 0,7=1,19.
\frac{u(u-1)}{2}= \frac{1,19}{2}=0,595.
\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 y_0 = 0,595\times(-0,003) = -0,001785.
Agora somar os termos:
P(127)=2,041 + 0,0646 - 0,001785 = 2,103815.
Arredondando razoavelmente para apresentação (por exemplo, quatro casas decimais) dá 2,1038\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido de sanidade (estratégia prática para prova): comparar com interpolação linear entre 120^\circ e 130^\circ.
  • Slope linear por grau entre 120^\circ e 130^\circ: \frac{2,114-2,079}{10}=\frac{0,035}{10}=0,0035\\ \text{m/}^\circ\mathrm{C}.
  • Distância de 120^\circ a 127^\circ é 7^\circ, então linear dá 2,079 + 7\times 0,0035 = 2,079 + 0,0245 = 2,1035.
O valor obtido por Gregory–Newton 2,103815 é muito próximo do linear 2,1035, o que reforça que o resultado é razoável (a segunda diferença é pequena, então a curva está quase linear).

Resposta

2,103815\\ \mathrm{m}

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