\left\{\begin{array}{c}5 x-2 y+8 z=10 \\\\ -x+7 y+z=10 \\\\ 13 x+y+z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que se encontre a solução (x,y,z)\): \[\begin{cases} 5x-2y+8z=10,\\[4pt] -x+7y+z=10,\\[4pt] 13x+y+z=10. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Três equações lineares com as incógnitas x\], \(y e z.
  • O objetivo é determinar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Estratégia que usarei (explicada de forma didática): vou resolver o sistema por eliminação (eliminação de Gauss), que consiste em aplicar operações elementares nas equações (somar equações entre si e multiplicá-las por constantes) para obter um sistema triangular, onde a última equação tem apenas uma incógnita. Essas operações são permitidas porque não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Operações elementares úteis:
  • Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero.
  • Somar a uma equação um múltiplo de outra.
    Vou procurar usar combinações inteiras das equações para evitar frações intermediárias sempre que possível — isso facilita os cálculos à mão.

Passo 3

Escrevo o sistema na forma de matriz aumentada (apenas para visualizar os coeficientes e o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 8 & 10\\[4pt] -1 & 7 & 1 & 10\\[4pt] 13 & 1 & 1 & 10 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar x nas equações 2 e 3 usando combinações inteiras para evitar frações.
Para zerar o x da linha 2: calculo 5\cdot(\text{linha }2)+1\cdot(\text{linha }1). Isso porque 5\cdot(-1)+1\cdot5=0.
Faço os cálculos termo a termo:
5\cdot(-1)+1\cdot5=0,\qquad 5\cdot7+1\cdot(-2)=35-2=33,
5\cdot1+1\cdot8=5+8=13,\qquad 5\cdot10+1\cdot10=50+10=60.
Logo a nova linha 2 é
[\,0\;\;33\;\;13\mid 60\,].
Para zerar o x da linha 3: calculo 5\cdot(\text{linha }3)-13\cdot(\text{linha }1). Isso porque 5\cdot13-13\cdot5=0.
Faço os cálculos:
5\cdot13-13\cdot5=0,\qquad 5\cdot1-13\cdot(-2)=5+26=31,
5\cdot1-13\cdot8=5-104=-99,\qquad 5\cdot10-13\cdot10=50-130=-80.
Logo a nova linha 3 é
[\,0\;\;31\;\;-99\mid -80\,].
Depois dessas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 8 & 10\\[4pt] 0 & 33 & 13 & 60\\[4pt] 0 & 31 & -99 & -80 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora elimino y da terceira equação usando a nova linha 2. Para evitar frações, uso combinação inteira: 33\cdot(\text{linha }3)-31\cdot(\text{linha }2). Assim o coeficiente de y fica 33\cdot31-31\cdot33=0.
Calculo os termos:
33\cdot31-31\cdot33=0 \quad(\text{confirma eliminação do }y),çã
33\cdot(-99)-31\cdot13 = -3267 - 403 = -3670,
33\cdot(-80)-31\cdot60 = -2640 - 1860 = -4500.
Portanto a nova linha 3 (proporcional à anterior) é
[\,0\;\;0\;\;-3670\mid -4500\,].
A equação correspondente é -3670\,z = -4500. Assim:
z = \frac{-4500}{-3670} = \frac{4500}{3670}.
Simplificando por 10:
z = \frac{450}{367}.

Passo 6

Substituo z na segunda equação (a linha 2) para encontrar y. A linha 2 é 33y+13z=60. Substituindo z=\dfrac{450}{367}:
33y + 13\cdot\frac{450}{367} = 60.
Passo tudo para uma fração sobre o mesmo denominador 367. Escrevo 60=\dfrac{60\cdot367}{367}=\dfrac{22020}{367}. Então
33y = \frac{22020}{367} - \frac{13\cdot450}{367} = \frac{22020-5850}{367} = \frac{16170}{367}.
Logo
y = \frac{16170}{367\cdot 33} = \frac{16170}{12111}.
Agora simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{16170}{12111}=\frac{5390}{4037}.
Observando que 4037=11\cdot367 e 5390=11\cdot490, divido novamente por 11:
y=\frac{490}{367}.

Passo 7

Finalmente obtenho x usando a primeira equação 5x-2y+8z=10. Reescrevo:
5x = 10 + 2y - 8z.
Substituo y=\dfrac{490}{367} e z=\dfrac{450}{367}. Escrevo 10=\dfrac{3670}{367}. Então
5x = \frac{3670}{367} + 2\cdot\frac{490}{367} - 8\cdot\frac{450}{367} = \frac{3670 + 980 - 3600}{367} = \frac{1050}{367}.
Portanto
x = \frac{1050}{367\cdot 5} = \frac{1050}{1835} = \frac{210}{367},
após simplificar por 5.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): substituir \,x=\dfrac{210}{367},\;y=\dfrac{490}{367},\;z=\dfrac{450}{367}\, em qualquer equação (por exemplo a segunda):
-x+7y+z = \frac{-210+7\cdot490+450}{367} = \frac{-210+3430+450}{367}=\frac{3670}{367}=10,
o que confirma que os valores satisfazem a equação. As outras equações também conferem (checagem análoga).

Resposta

x=\dfrac{210}{367}
y=\dfrac{490}{367}
z=\dfrac{450}{367}

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