O enunciado fornece o seguinte sistema linear de três equações e três incógnitas e pede que se encontre a solução (x,y,z)\):
\[\begin{cases} 5x-2y+8z=10,\\[4pt] -x+7y+z=10,\\[4pt] 13x+y+z=10. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
Três equações lineares com as incógnitas x\], \(y e z.
O objetivo é determinar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Estratégia que usarei (explicada de forma didática): vou resolver o sistema por eliminação (eliminação de Gauss), que consiste em aplicar operações elementares nas equações (somar equações entre si e multiplicá-las por constantes) para obter um sistema triangular, onde a última equação tem apenas uma incógnita. Essas operações são permitidas porque não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Operações elementares úteis:
Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero.
Somar a uma equação um múltiplo de outra.
Vou procurar usar combinações inteiras das equações para evitar frações intermediárias sempre que possível — isso facilita os cálculos à mão.
Passo 3
Escrevo o sistema na forma de matriz aumentada (apenas para visualizar os coeficientes e o termo independente):
Agora elimino y da terceira equação usando a nova linha 2. Para evitar frações, uso combinação inteira: 33\cdot(\text{linha }3)-31\cdot(\text{linha }2). Assim o coeficiente de y fica 33\cdot31-31\cdot33=0.
Calculo os termos:
33\cdot31-31\cdot33=0 \quad(\text{confirma eliminação do }y),çã
33\cdot(-99)-31\cdot13 = -3267 - 403 = -3670,
33\cdot(-80)-31\cdot60 = -2640 - 1860 = -4500.
Portanto a nova linha 3 (proporcional à anterior) é
[\,0\;\;0\;\;-3670\mid -4500\,].
A equação correspondente é -3670\,z = -4500. Assim:
z = \frac{-4500}{-3670} = \frac{4500}{3670}.
Simplificando por 10:
z = \frac{450}{367}.
Passo 6
Substituo z na segunda equação (a linha 2) para encontrar y. A linha 2 é 33y+13z=60. Substituindo z=\dfrac{450}{367}:
33y + 13\cdot\frac{450}{367} = 60.
Passo tudo para uma fração sobre o mesmo denominador 367. Escrevo 60=\dfrac{60\cdot367}{367}=\dfrac{22020}{367}. Então
x = \frac{1050}{367\cdot 5} = \frac{1050}{1835} = \frac{210}{367},
após simplificar por 5.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): substituir \,x=\dfrac{210}{367},\;y=\dfrac{490}{367},\;z=\dfrac{450}{367}\, em qualquer equação (por exemplo a segunda):