Solve the equation
\sqrt{4 a+b-5 x}+\sqrt{4 b+a-5 x}-3 \sqrt{a+b-2 x}=0 .

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\sqrt{4a+b-5x}+\sqrt{4b+a-5x}-3\sqrt{a+b-2x}=0.
Informações/dados que temos:
  • As variáveis livres são a, b (parâmetros) e x (incógnita).
  • Para que a expressão esteja bem definida (raízes reais), os radicandos devem ser não negativos, isto é:
4a+b-5x\ge 0,\qquad 4b+a-5x\ge 0,\qquad a+b-2x\ge 0.
  • A pergunta é: encontrar todos os x reais (em função de a,b) que satisfazem a equação dada, assumindo que os radicandos são reais.

Passo 2

Estratégia de simplificação (sem resolver ainda): queremos tirar vantagem da simetria entre as duas primeiras raízes. Vamos fazer uma mudança de variável que torne essa simetria explícita e coloque a terceira raiz como uma variável simples.
Defina a variável
y=a+b-2x.
Observações imediatas:
  • Como temos \sqrt{a+b-2x} na equação original, temos que y\ge 0.
  • A incógnita x pode ser recuperada por
x=\frac{a+b-y}{2}.
Agora escrevemos os outros radicandos em função de y. Calcule
4a+b-5x=4a+b-5\cdot\frac{a+b-y}{2}=\frac{8a+2b-5a-5b+5y}{2}=\frac{3a-3b+5y}{2}.
Analogamente,
4b+a-5x=\frac{3b-3a+5y}{2}.
Para simplificar a escrita, defina a diferença
d=a-b.
Então podemos reescrever os radicandos como
4a+b-5x=\frac{5y+3d}{2},\qquad 4b+a-5x=\frac{5y-3d}{2}.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos (note que \sqrt{a+b-2x}=\sqrt{y}):
\sqrt{\frac{5y+3d}{2}}+\sqrt{\frac{5y-3d}{2}}-3\sqrt{y}=0,
ou seja
\sqrt{\frac{5y+3d}{2}}+\sqrt{\frac{5y-3d}{2}}=3\sqrt{y}.
Aqui vemos claramente a simetria: as duas primeiras raízes têm formas \sqrt{(5y\pm 3d)/2}.

Passo 4

Vamos manipular essa igualdade. Como ambos os lados são não negativos (raízes), podemos elevar ao quadrado com cuidado (lembrando de verificar possíveis soluções extranhas depois).
Eleve ao quadrado:
\left(\sqrt{\frac{5y+3d}{2}}+\sqrt{\frac{5y-3d}{2}}\right)^2=9y.
O lado esquerdo é soma dos quadrados mais o dobro do produto:
\frac{5y+3d}{2}+\frac{5y-3d}{2}+2\sqrt{\frac{5y+3d}{2}\cdot\frac{5y-3d}{2}} =9y.
Calcule a soma dos primeiros dois termos:
\frac{5y+3d+5y-3d}{2}=\frac{10y}{2}=5y.
Portanto obtemos
5y+2\sqrt{\frac{(5y)^2-(3d)^2}{4}}=9y.
Simplificando a raiz:
5y+\sqrt{25y^2-9d^2}=9y.

Passo 5

Isolando a raiz e elevando ao quadrado novamente (novamente com cuidado sobre sinais):
\sqrt{25y^2-9d^2}=4y.
Note que o lado esquerdo é não negativo, logo o lado direito exige 4y\ge 0, o que é compatível com y\ge0 (já sabíamos). Agora elevamos ao quadrado:
25y^2-9d^2=16y^2 \quad\Longrightarrow\quad 9y^2=9d^2.
Logo
y^2=d^2 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm d.
Mas pela definição y=a+b-2x temos y\ge 0. Então a única possibilidade é
y=|d|=|a-b|.
Convém verificar que não introduzimos solução extraviada nos dois processos de elevação ao quadrado. Nos passos usamos apenas igualdades entre quantidades não negativas; a condição y\ge0 e a forma final y=|a-b| garantem que a igualdade original (antes de quadrar) é satisfeita — vamos confirmar ao voltar para x.

Passo 6

Volte à variável x. Temos
y=a+b-2x=|a-b|.
Resolvendo para x:
x=\frac{a+b-|a-b|}{2}.
Esta expressão é uma forma conhecida que equivale ao menor entre a e b. De fato:
  • Se a\ge b então |a-b|=a-b e
x=\frac{a+b-(a-b)}{2}=\frac{2b}{2}=b.
  • Se b\ge a então |a-b|=b-a e
x=\frac{a+b-(b-a)}{2}=\frac{2a}{2}=a.
Portanto
x=\min\{a,b\}.
Vamos fazer uma checagem rápida de coerência substituindo, por exemplo, x=b quando a\ge b. Então
4a+b-5x=4a+b-5b=4a-4b=4(a-b),
4b+a-5x=a-b,
a+b-2x=a+b-2b=a-b.
As raízes são \sqrt{4(a-b)}=2\sqrt{a-b}, \sqrt{a-b} e \sqrt{a-b}, e a expressão original fica
2\sqrt{a-b}+\sqrt{a-b}-3\sqrt{a-b}=0,
ou seja, 0. O caso b\ge a é análogo. Assim a solução encontrada satisfaz a equação original e respeita as restrições de domínio.

Passo 7

Resumo e observações finais (positivo e motivador):
  • Ao usar a substituição y=a+b-2x a equação ficou simétrica e simples de manipular.
  • Foi preciso elevar ao quadrado duas vezes; por isso é essencial verificar o sinal e as restrições (feitas: y\ge0 e checagem final).
  • A solução final tem interpretação intuitiva: a incógnita x fica “igual ao menor dos parâmetros” a e b.

Resposta

\displaystyle x=\min\{a,b\}

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