Solve the equation
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações/dados que temos:
- As variáveis livres são
, (parâmetros) e (incógnita). - Para que a expressão esteja bem definida (raízes reais), os radicandos devem ser não negativos, isto é:
- A pergunta é: encontrar todos os
reais (em função de ) que satisfazem a equação dada, assumindo que os radicandos são reais.
Passo 2
Estratégia de simplificação (sem resolver ainda): queremos tirar vantagem da simetria entre as duas primeiras raízes. Vamos fazer uma mudança de variável que torne essa simetria explícita e coloque a terceira raiz como uma variável simples.
Defina a variável
Observações imediatas:
- Como temos
na equação original, temos que . - A incógnita
pode ser recuperada por
Agora escrevemos os outros radicandos em função de
. Calcule
Analogamente,
Para simplificar a escrita, defina a diferença
Então podemos reescrever os radicandos como
Passo 3
Substituindo na equação original obtemos (note que
):
ou seja
Aqui vemos claramente a simetria: as duas primeiras raízes têm formas
.
Passo 4
Vamos manipular essa igualdade. Como ambos os lados são não negativos (raízes), podemos elevar ao quadrado com cuidado (lembrando de verificar possíveis soluções extranhas depois).
Eleve ao quadrado:
O lado esquerdo é soma dos quadrados mais o dobro do produto:
Calcule a soma dos primeiros dois termos:
Portanto obtemos
Simplificando a raiz:
Passo 5
Isolando a raiz e elevando ao quadrado novamente (novamente com cuidado sobre sinais):
Note que o lado esquerdo é não negativo, logo o lado direito exige
, o que é compatível com
(já sabíamos). Agora elevamos ao quadrado:
Logo
Mas pela definição
temos
. Então a única possibilidade é
Convém verificar que não introduzimos solução extraviada nos dois processos de elevação ao quadrado. Nos passos usamos apenas igualdades entre quantidades não negativas; a condição
e a forma final
garantem que a igualdade original (antes de quadrar) é satisfeita — vamos confirmar ao voltar para
.
Passo 6
Volte à variável
. Temos
Resolvendo para
:
Esta expressão é uma forma conhecida que equivale ao menor entre
e
. De fato:
- Se
então e
- Se
então e
Portanto
Vamos fazer uma checagem rápida de coerência substituindo, por exemplo,
quando
. Então
As raízes são
,
e
, e a expressão original fica
ou seja, 0. O caso
é análogo. Assim a solução encontrada satisfaz a equação original e respeita as restrições de domínio.
Passo 7
Resumo e observações finais (positivo e motivador):
- Ao usar a substituição
a equação ficou simétrica e simples de manipular. - Foi preciso elevar ao quadrado duas vezes; por isso é essencial verificar o sinal e as restrições (feitas:
e checagem final). - A solução final tem interpretação intuitiva: a incógnita
fica “igual ao menor dos parâmetros” e .