(a) (pontuação: 0,75 ) Determine o valor da constante
seja uma função densidade de probabilidade.
(b) (pontuação: 0,5 ) Determine a probabilidade do tempo de backup ser pelo menos uma hora.
(c) (pontuação: 0,75 ) Calcule
.
(c) (pontuação: 0,75 ) Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória contínua
As perguntas são:
(a) Determinar a constante seja uma densidade de probabilidade.
(a) Determinar a constante seja uma densidade de probabilidade.
(b) Calcular a probabilidade de o tempo de backup ser pelo menos uma hora, isto é
.
(c) Calcular , a esperança (valor esperado) de
.
(c) Calcular
Informações relevantes fornecidas: suporte de
é o intervalo
; a forma funcional de
em
é
; fora desse intervalo
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Conceito e estratégia para (a): para que
seja uma função densidade de probabilidade precisamos que a integral de
em todo o domínio valha
. Ou seja,
Como
fora de
, basta impor
Agora calculamos a integral. Primeiro simplifico o integrando:
A primitiva (antiderivada) de
é fácil de obter integrando termo a termo:
pois
e
. Agora avalio de
a
:
Portanto a integral original é
vezes
. Igualando a
,
Passo 3
Interpretação e cálculo para (b): para uma variável contínua, a probabilidade de
ser pelo menos
é a integral da densidade de
até o limite superior do suporte:
Já temos
. Usamos a mesma primitiva de antes,
. Avaliando de
a
:
Multiplicando por
,
Comentário curto: em distribuições contínuas às vezes
; aqui o resultado é
.
Passo 4
Conceito e cálculo para (c): a esperança de uma variável contínua
tem definição
De novo o suporte é
, então
Expando o integrando para integrar facilmente:
A primitiva de
é
Avalio de
a
:
Então
Substituindo
,
Interpretação rápida: o tempo médio esperado do backup é
hora.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)