(2,0)\) Uma empresa de tecnologia está testando um novo sistema automático de backup. Durante a fase de testes, observou-se que o tempo (em horas) necessário para concluir um backup completo, denotado por \(X\), é modelado como uma variável aleatória contínua com densidade: \[f(x)= \begin{cases}k x(2-x), & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) (pontuação: 0,75 ) Determine o valor da constante k\] para que \(f(x) seja uma função densidade de probabilidade.
(b) (pontuação: 0,5 ) Determine a probabilidade do tempo de backup ser pelo menos uma hora.
(c) (pontuação: 0,75 ) Calcule \mathbb{E}[X].

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) (tempo em horas) com densidade de probabilidade definida por \[f(x)= \begin{cases}k\,x(2-x), & 0 \leq x \leq 2, \\\\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar a constante k\] para que \(f seja uma densidade de probabilidade.
(b) Calcular a probabilidade de o tempo de backup ser pelo menos uma hora, isto é P(X\ge 1).
(c) Calcular \mathbb{E}[X], a esperança (valor esperado) de X.
Informações relevantes fornecidas: suporte de X é o intervalo [0,2]; a forma funcional de f(x) em [0,2] é k x(2-x); fora desse intervalo f(x)=0. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Conceito e estratégia para (a): para que f seja uma função densidade de probabilidade precisamos que a integral de f em todo o domínio valha 1. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], basta impor
\int_{0}^{2} k\,x(2-x)\,dx = 1.
Agora calculamos a integral. Primeiro simplifico o integrando:
x(2-x) = 2x - x^2.
A primitiva (antiderivada) de 2x - x^2 é fácil de obter integrando termo a termo:
\int (2x - x^2)\,dx = x^2 - \frac{x^3}{3} + C,
pois \int 2x\,dx = x^2 e \int x^2\,dx = \tfrac{x^3}{3}. Agora avalio de 0 a 2:
\left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto a integral original é k vezes \tfrac{4}{3}. Igualando a 1,
k\cdot \frac{4}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{3}{4}.

Passo 3

Interpretação e cálculo para (b): para uma variável contínua, a probabilidade de X ser pelo menos 1 é a integral da densidade de 1 até o limite superior do suporte:
P(X\ge 1) = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} k\,x(2-x)\,dx.
Já temos k=\tfrac{3}{4}. Usamos a mesma primitiva de antes, x^2 - \tfrac{x^3}{3}. Avaliando de 1 a 2:
\left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.
Multiplicando por k,
P(X\ge 1) = \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.
Comentário curto: em distribuições contínuas às vezes P(X\ge 1)=P(X>1); aqui o resultado é \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Conceito e cálculo para (c): a esperança de uma variável contínua X tem definição
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
De novo o suporte é [0,2], então
\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{2} x\cdot k\,x(2-x)\,dx = k\int_{0}^{2} x^{2}(2-x)\,dx.
Expando o integrando para integrar facilmente:
x^{2}(2-x) = 2x^{2} - x^{3}.
A primitiva de 2x^{2}-x^{3} é
\int (2x^{2}-x^{3})\,dx = \frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + C.
Avalio de 0 a 2:
\left[\frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2\cdot 8}{3} - \frac{16}{4}\right) - 0 = \left(\frac{16}{3} - 4\right) = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}.
Então
\mathbb{E}[X] = k\cdot \frac{4}{3}.
Substituindo k=\tfrac{3}{4},
\mathbb{E}[X] = \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3} = 1.
Interpretação rápida: o tempo médio esperado do backup é 1 hora.

Resposta

(a) k=\tfrac{3}{4}
(b) P(X\ge 1)=\tfrac{1}{2}
(c) \mathbb{E}[X]=1

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