Uma empresa tem um custo fixo de produção de \ 5.000 e um custo de produção marginal constante deçã$500$ por unidade.
a) Qual é a função de custo total da empresa?
b) Qual é a função de custo médio da empresa?
c) Se quiser minimizar o custo total médio, a empresa deve optar por ser muito pequena ou muito grande? Explique.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
  • Custo fixo da empresa: \$\,5{.}000.
  • Custo marginal constante: \$\,500 por unidade.
Perguntas:
  1. Qual é a função de custo total da empresa?
  2. Qual é a função de custo médio da empresa?
  3. Para minimizar o custo médio total, a empresa deve ser muito pequena ou muito grande? Explique.

Passo 2

Vamos entender o que significa “custo marginal” e como ele se relaciona com o custo total. Definimos:
  • \,q = quantidade produzida (número de unidades), com q\ge 0.
  • C(q) = custo total para produzir q unidades.
  • O custo marginal é a taxa de variação do custo total quando aumentamos a produção em uma unidade infinitesimal, ou seja, é a derivada do custo total:
C'(q)=\text{custo marginal em }q.
No enunciado o custo marginal é constante e igual a \$\,500, então temos:
C'(q)=500\quad\text{para todo }q.
Isso significa que, ao aumentar a produção, cada unidade adicional acrescenta sempre \$\,500 ao custo total.

Passo 3

Para obter o custo total a partir do custo marginal, integramos a derivada. Como C'(q)=500, uma primitiva é:
C(q)=\int 500\,dq = 500q + K,
onde K é a constante de integração. Essa constante corresponde ao custo quando q=0, ou seja, ao custo fixo. Pelo enunciado o custo fixo é \$\,5{.}000, então K=5000. Portanto a função de custo total é:
C(q)=5000+500q.
Explicação interpretativa: o termo 5000 é o custo que existe mesmo se não produzir nada (aluguel, manutenção, etc.). O termo 500q é o custo variável que cresce linearmente com a quantidade, porque o custo por unidade é constante.

Passo 4

Agora definimos o custo médio (ou custo total médio), que é o custo por unidade produzida. Por definição:
\text{custo médio }(q)=\frac{C(q)}{q},é
para q>0 (não podemos dividir por zero). Substituindo C(q)=5000+500q temos:
\text{custo médio }(q)=\frac{5000+500q}{q}.é
Fazendo a divisão termo a termo:
\text{custo médio }(q)=\frac{5000}{q}+500.é
Interpretação: \frac{5000}{q} é a parcela do custo fixo atribuída a cada unidade (decresce com q); 500 é o custo variável por unidade (o custo marginal constante).
Exemplos numéricos rápidos para sentir o comportamento:
  • Se q=1: \text{custo médio}(1)=5000+500=5500.é
  • Se q=10: \text{custo médio}(10)=\frac{5000}{10}+500=500+500=1000.é
  • Se q=100: \text{custo médio}(100)=\frac{5000}{100}+500=50+500=550.é
    Vê como a parte \frac{5000}{q} cai com q e o custo médio se aproxima de 500.

Passo 5

Queremos saber onde o custo médio é minimizado. Tome a função
A(q)=\text{custo médio}(q)=500+\frac{5000}{q},\qquad q>0.é
Calcule a derivada para ver se existe um mínimo interno:
A'(q)=0 + \frac{d}{dq}\!\left(\frac{5000}{q}\right)= -\frac{5000}{q^{2}}.
Note que para todo q>0 temos A'(q)=-\dfrac{5000}{q^{2}}<0. Isso significa que A(q) é estritamente decrescente em todo o domínio q>0. Logo não existe um mínimo interno em algum q finito; quanto maior q, menor é A(q).
Análise do limite quando a empresa cresce sem limite:
\lim_{q\to\infty}A(q)=\lim_{q\to\infty}\left(500+\frac{5000}{q}\right)=500.
Portanto o custo médio se aproxima de \$\,500 quando a produção vai para infinito, mas nunca fica abaixo de \$\,500. Isso é intuitivo: ao aumentar a produção, o custo fixo por unidade \frac{5000}{q} fica cada vez menor, e o custo médio tende ao custo variável por unidade (o custo marginal).
Conclusão econômica: para minimizar o custo médio a empresa deve produzir o máximo possível (ser muito grande), pois assim dilui o custo fixo por unidade; o menor custo médio possível, atingido apenas como limite, é \$\,500.

Passo 6

Resumo final, pronto para conferência:

Resposta

(a) \;C(q)=5000+500q.
(b) \;\text{custo médio}(q)=500+\dfrac{5000}{q},\; q>0.é
(c) A empresa deve ser muito grande: o custo médio é estritamente decrescente em q e tende a \$\,500 quando q\to\infty, portanto quanto maior a produção menor o custo médio (o mínimo é o limite \$\,500).

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