Uma empresa tem um custo fixo de produção de
5.000
$500$ por unidade.
a) Qual é a função de custo total da empresa?
b) Qual é a função de custo médio da empresa?
c) Se quiser minimizar o custo total médio, a empresa deve optar por ser muito pequena ou muito grande? Explique.
a) Qual é a função de custo total da empresa?
b) Qual é a função de custo médio da empresa?
c) Se quiser minimizar o custo total médio, a empresa deve optar por ser muito pequena ou muito grande? Explique.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
- Custo fixo da empresa:
. - Custo marginal constante:
por unidade.
Perguntas:
- Qual é a função de custo total da empresa?
- Qual é a função de custo médio da empresa?
- Para minimizar o custo médio total, a empresa deve ser muito pequena ou muito grande? Explique.
Passo 2
Vamos entender o que significa “custo marginal” e como ele se relaciona com o custo total. Definimos:
-
= quantidade produzida (número de unidades), com . -
= custo total para produzir unidades. - O custo marginal é a taxa de variação do custo total quando aumentamos a produção em uma unidade infinitesimal, ou seja, é a derivada do custo total:
No enunciado o custo marginal é constante e igual a
, então temos:
Isso significa que, ao aumentar a produção, cada unidade adicional acrescenta sempre
ao custo total.
Passo 3
Para obter o custo total a partir do custo marginal, integramos a derivada. Como
, uma primitiva é:
onde
é a constante de integração. Essa constante corresponde ao custo quando
, ou seja, ao custo fixo. Pelo enunciado o custo fixo é
, então
. Portanto a função de custo total é:
Explicação interpretativa: o termo
é o custo que existe mesmo se não produzir nada (aluguel, manutenção, etc.). O termo
é o custo variável que cresce linearmente com a quantidade, porque o custo por unidade é constante.
Passo 4
Agora definimos o custo médio (ou custo total médio), que é o custo por unidade produzida. Por definição:
para
(não podemos dividir por zero). Substituindo
temos:
Fazendo a divisão termo a termo:
Interpretação:
é a parcela do custo fixo atribuída a cada unidade (decresce com
);
é o custo variável por unidade (o custo marginal constante).
Exemplos numéricos rápidos para sentir o comportamento:
- Se
: - Se
: - Se
:
Vê como a partecai com e o custo médio se aproxima de .
Passo 5
Queremos saber onde o custo médio é minimizado. Tome a função
Calcule a derivada para ver se existe um mínimo interno:
Note que para todo
temos
. Isso significa que
é estritamente decrescente em todo o domínio
. Logo não existe um mínimo interno em algum
finito; quanto maior
, menor é
.
Análise do limite quando a empresa cresce sem limite:
Portanto o custo médio se aproxima de
quando a produção vai para infinito, mas nunca fica abaixo de
. Isso é intuitivo: ao aumentar a produção, o custo fixo por unidade
fica cada vez menor, e o custo médio tende ao custo variável por unidade (o custo marginal).
Conclusão econômica: para minimizar o custo médio a empresa deve produzir o máximo possível (ser muito grande), pois assim dilui o custo fixo por unidade; o menor custo médio possível, atingido apenas como limite, é
.
Passo 6
Resumo final, pronto para conferência:
Resposta
(a)
(b)
(c) A empresa deve ser muito grande: o custo médio é estritamente decrescente em e tende a
quando
, portanto quanto maior a produção menor o custo médio (o mínimo é o limite
).
(b)
(c) A empresa deve ser muito grande: o custo médio é estritamente decrescente em