Qual é a relação entre o produto marginal do fator de produção variável e os custos marginais de produção no curto prazo? Explique sua resposta e represente matematicamente a relação para uma tecnologia com 2 fatores de produção.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique a relação entre o produto marginal do fator de produção variável e os custos marginais de produção no curto prazo, e que eu represente matematicamente essa relação para uma tecnologia com dois fatores de produção.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Há uma tecnologia com dois fatores de produção.
- Estamos no curto prazo, ou seja, pelo menos um fator é fixo.
- Há um fator variável (por exemplo, trabalho) cujo produto marginal interessa.
- Queremos a relação entre o produto marginal desse fator variável e o custo marginal.
Passo 2
Defino a tecnologia e os preços dos fatores de forma clara. Seja a função de produção com dois fatores
onde
é a quantidade produzida,
é o fator variável (por exemplo, trabalho) e
é o fator fixo no curto prazo. Os preços dos fatores são:
(salário por unidade de
) e
(aluguel/preço do capital por unidade de
). No curto prazo tomamos
fixo. O custo total é composto por custo variável e custo fixo:
Aqui:
-
é o custo variável (depende de ), -
é custo fixo (constante no curto prazo).
Passo 3
Defino o conceito de produto marginal do fator variável e explico o que significa. O produto marginal do trabalho (produto marginal de
) é a derivada parcial da função de produção em relação a
:
Interpretação:
mede quanto a produção
aumenta quando eu adiciono uma unidade extra de
, mantendo
fixo. Tem unidades de "unidades de produto por unidade de
". Se
diminui quando
aumenta, dizemos que existe a lei dos retornos marginais decrescentes.
Passo 4
Defino o custo marginal e dou a intuição. O custo marginal (
) é o acréscimo no custo total quando a produção aumenta em uma unidade:
Intuição: quanto custa produzir uma unidade adicional de produto? No curto prazo, o custo fixo não varia com
, então o incremento de custo vem do fator variável
.
Passo 5
Faço a derivação matemática da relação entre
e
. Parto de
. Como
é constante, derivando em relação a
obtemos:
Agora uso a relação entre
e
. Como no curto prazo
,
Tomando inversa (assumindo diferenciabilidade e
),
Substituindo em
chega-se à relação fundamental:
Ou escrevendo de forma mais direta,
Passo 6
Interpretação econômica direta e consequência importante. A expressão
diz que o custo marginal é inversamente proporcional ao produto marginal do fator variável: quanto maior o produto adicional que um trabalhador gera (
), menor será o custo de produzir uma unidade adicional, dado o salário
. Em particular, se há retornos marginais decrescentes (isto é,
cai à medida que mais
é usado), então
cresce à medida que
aumenta. Isso explica porque, em muitas curvas de custo, o custo marginal é crescente.
Passo 7
Relação com custo variável médio para reforçar o entendimento. O custo variável médio (
) é
Definindo o produto médio do trabalho
, obtenho
Assim,
está relacionado ao produto médio do trabalho do mesmo modo que
está relacionado ao produto marginal. Isso ajuda a visualizar por que, quando
fica abaixo de
,
fica acima de
, e vice‑versa (analogia com médias e marginais).
Passo 8
Exemplo numérico simples para ver tudo junto. Considere a tecnologia de Cobb‑Douglas
No curto prazo tomo
e salário
. Então
O produto marginal do trabalho é
Pela fórmula
Escrevendo
em função de
: como
então
e
Aqui
cresce com
, refletindo que
decresce com
.
Passo 9
Hipóteses e generalizações rápidas (para a prova). A derivação usa hipóteses importantes: mercado de fatores competitivo (preço
exógeno e constante), curto prazo com pelo menos um fator fixo (
), e diferenciabilidade da função de produção. Se houver vários fatores variáveis, a expressão generaliza para
onde
é o preço do fator
e
é o produto marginal desse fator, entendendo que a variação de cada
deve ser relacionada à variação total
. Para a prova, porém, lembrar e usar a forma simples para um fator variável é suficiente: