Qual é a relação entre o produto marginal do fator de produção variável e os custos marginais de produção no curto prazo? Explique sua resposta e represente matematicamente a relação para uma tecnologia com 2 fatores de produção.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique a relação entre o produto marginal do fator de produção variável e os custos marginais de produção no curto prazo, e que eu represente matematicamente essa relação para uma tecnologia com dois fatores de produção.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Há uma tecnologia com dois fatores de produção.
  • Estamos no curto prazo, ou seja, pelo menos um fator é fixo.
  • Há um fator variável (por exemplo, trabalho) cujo produto marginal interessa.
  • Queremos a relação entre o produto marginal desse fator variável e o custo marginal.

Passo 2

Defino a tecnologia e os preços dos fatores de forma clara. Seja a função de produção com dois fatores
Q = f(L,K)
onde Q é a quantidade produzida, L é o fator variável (por exemplo, trabalho) e K é o fator fixo no curto prazo. Os preços dos fatores são: w (salário por unidade de L) e r (aluguel/preço do capital por unidade de K). No curto prazo tomamos K=\bar K fixo. O custo total é composto por custo variável e custo fixo:
TC = wL + r\bar K.
Aqui:
  • wL é o custo variável (depende de L),
  • r\bar K é custo fixo (constante no curto prazo).

Passo 3

Defino o conceito de produto marginal do fator variável e explico o que significa. O produto marginal do trabalho (produto marginal de L) é a derivada parcial da função de produção em relação a L:
MP_{L} \equiv \frac{\partial f(L,K)}{\partial L}.
Interpretação: MP_{L} mede quanto a produção Q aumenta quando eu adiciono uma unidade extra de L, mantendo K fixo. Tem unidades de "unidades de produto por unidade de L". Se MP_{L} diminui quando L aumenta, dizemos que existe a lei dos retornos marginais decrescentes.

Passo 4

Defino o custo marginal e dou a intuição. O custo marginal ( MC) é o acréscimo no custo total quando a produção aumenta em uma unidade:
MC \equiv \frac{dTC}{dQ}.
Intuição: quanto custa produzir uma unidade adicional de produto? No curto prazo, o custo fixo não varia com Q, então o incremento de custo vem do fator variável L.

Passo 5

Faço a derivação matemática da relação entre MP_{L} e MC. Parto de TC = wL + r\bar K. Como r\bar K é constante, derivando em relação a Q obtemos:
MC = \frac{dTC}{dQ} = w\frac{dL}{dQ}.
Agora uso a relação entre dQ/dL e MP_{L}. Como no curto prazo Q=f(L,\bar K),
\frac{dQ}{dL} = MP_{L}.
Tomando inversa (assumindo diferenciabilidade e MP_{L}\neq 0),
\frac{dL}{dQ} = \frac{1}{MP_{L}}.
Substituindo em MC chega-se à relação fundamental:
MC = w\frac{1}{MP_{L}}.
Ou escrevendo de forma mais direta,
MC = \frac{w}{MP_{L}}.

Passo 6

Interpretação econômica direta e consequência importante. A expressão
MC = \frac{w}{MP_{L}}
diz que o custo marginal é inversamente proporcional ao produto marginal do fator variável: quanto maior o produto adicional que um trabalhador gera ( MP_{L}), menor será o custo de produzir uma unidade adicional, dado o salário w. Em particular, se há retornos marginais decrescentes (isto é, MP_{L} cai à medida que mais L é usado), então MC cresce à medida que Q aumenta. Isso explica porque, em muitas curvas de custo, o custo marginal é crescente.

Passo 7

Relação com custo variável médio para reforçar o entendimento. O custo variável médio ( AVC) é
AVC = \frac{wL}{Q}.
Definindo o produto médio do trabalho APL\equiv Q/L, obtenho
AVC = \frac{w}{APL}.
Assim, AVC está relacionado ao produto médio do trabalho do mesmo modo que MC está relacionado ao produto marginal. Isso ajuda a visualizar por que, quando MP_{L} fica abaixo de APL, MC fica acima de AVC, e vice‑versa (analogia com médias e marginais).

Passo 8

Exemplo numérico simples para ver tudo junto. Considere a tecnologia de Cobb‑Douglas
Q = L^{1/2}K^{1/2}.
No curto prazo tomo K=\bar K=4 e salário w=10. Então
Q = 2L^{1/2}.
O produto marginal do trabalho é
MP_{L} = \frac{dQ}{dL} = 2\cdot\frac{1}{2}L^{-1/2} = L^{-1/2}.
Pela fórmula
MC = \frac{w}{MP_{L}} = \frac{10}{L^{-1/2}} = 10\,L^{1/2}.
Escrevendo MC em função de Q: como Q=2L^{1/2} então L^{1/2}=Q/2 e
MC = 10\cdot\frac{Q}{2} = 5Q.
Aqui MC cresce com Q, refletindo que MP_{L} decresce com L.

Passo 9

Hipóteses e generalizações rápidas (para a prova). A derivação usa hipóteses importantes: mercado de fatores competitivo (preço w exógeno e constante), curto prazo com pelo menos um fator fixo ( K=\bar K), e diferenciabilidade da função de produção. Se houver vários fatores variáveis, a expressão generaliza para
MC=\sum_{i}\frac{p_i}{MP_{x_i}},
onde p_i é o preço do fator x_i e MP_{x_i} é o produto marginal desse fator, entendendo que a variação de cada x_i deve ser relacionada à variação total dQ. Para a prova, porém, lembrar e usar a forma simples para um fator variável é suficiente:
MC=\frac{w}{MP_{L}}.

Resposta

MC=\frac{w}{MP_{L}}

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