Uma empresa X tem importantes instalações em outros países e seu presidente precisa saber qual é o valor futuro equivalente de um investimento financeiro de um milhão de reais, no final de cada ano, durante oito anos, a partir de hoje. O capital da empresa produz rendimentos à taxa de 14 \% a.a.
\begin{aligned} & S=\$ 13.232 .760,16 \\ & P=R \$ 4.638 .863,89 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pego do texto):
  • Pagamento periódico (anuidade): \text{PMT}= \text{R\$}\,1{.}000{.}000 por ano.
  • Prazo: n=8 anos.
  • Taxa de juros nominal anual: i=14\% a.a., ou seja i=0{,}14.
    O que o problema pede:
  • Calcular o valor futuro acumulado ao final de 8 anos (valor equivalente futuro), que chamaremos de S.
  • Calcular o valor presente equivalente hoje (valor atual) dessa série de pagamentos, que chamaremos de P.

Passo 2

Entender a fórmula do valor futuro de uma série de pagamentos iguais feitos ao final de cada período (anuidade imediata).
  • Conceito: cada pagamento \text{PMT} aplicado e capitalizado até o final do prazo gera um montante; o valor futuro S é a soma desses montantes.
  • Variáveis:
    • \text{PMT} é o pagamento periódico (aqui \text{R\$}\,1{.}000{.}000).
    • i é a taxa de juros por período (aqui 0{,}14).
    • n é o número de períodos (aqui 8).
  • Derivação (passo a passo, sem pular):
    • Colocar os pagamentos em uma sequência e capitalizar cada um para o tempo final: o pagamento do primeiro ano (no final do ano 1) será capitalizado por n-1 anos até o final do ano 8, o pagamento do segundo ano por n-2 anos, … o pagamento do último ano (ano 8) não é capitalizado (tem fator 1).
    • Escrever a soma geométrica do montante: S=\text{PMT}\bigl((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)^1+(1+i)^0\bigr).
    • Multiplicar por (1+i) e subtrair para simplificar (técnica clássica para soma de progressão geométrica). Isso leva à fórmula fechada: S=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
    • Observação prática: essa fórmula vale quando os pagamentos são feitos ao final de cada período (anuidade imediata). Cada termo da fração e cada variável tem o significado dado acima.

Passo 3

Calcular S numericamente usando a fórmula.
  • Primeiro calcular (1+i)^{n} com i=0{,}14 e n=8: 1{,}14^2=1{,}2996,
1{,}14^4=(1{,}2996)^2=1{,}68896016,
1{,}14^8=(1{,}68896016)^2\approx 2{,}8525864220672256.
  • Agora aplicar a fórmula S=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}substituindo os valores: S=\;1{.}000{.}000\cdot\frac{2{,}8525864220672256-1}{0{,}14}
S=1{.}000{.}000\cdot\frac{1{,}8525864220672256}{0{,}14}
S=1{.}000{.}000\cdot 13{,}23276015762304\approx \text{R\$}\,13{.}232{.}760{,}16.
  • Interpretação curta: depositando \text{R\$}\,1{.}000{.}000 ao final de cada ano, à taxa de 14\% a.a., ao final de 8 anos terá acumulado cerca de \text{R\$}\,13{.}232{.}760{,}16.

Passo 4

Fórmula do valor presente (hoje) de uma anuidade imediata e derivação rápida.
  • Conceito: o valor presente P é a soma dos pagamentos descontados ao valor de hoje.
  • Fórmula padrão (derivação por soma geométrica ou usando relação entre S e P): P=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Relação útil entre S e P: P=\frac{S}{(1+i)^{n}},porque S é o valor acumulado ao final do período e, trazendo esse montante a valor presente, divide-se por (1+i)^n.

Passo 5

Calcular P numericamente usando a relação P=S/(1+i)^n (mais prático, já temos S e (1+i)^n).
  • Usando S\approx\text{R\$}\,13{.}232{.}760{,}15762256 e (1+i)^n\approx 2{,}8525864220672256, P=\frac{13{.}232{.}760{,}15762256}{2{,}8525864220672256}\approx \text{R\$}\,4{.}638{.}863{,}89.
  • Alternativamente, usando diretamente a fórmula do presente: P=1{.}000{.}000\cdot\frac{1-(1{,}14)^{-8}}{0{,}14}\approx \text{R\$}\,4{.}638{.}863{,}89.
  • Interpretação curta: o valor hoje equivalente a receber \text{R\$}\,1{.}000{.}000 ao final de cada ano por 8 anos, à taxa de 14\% a.a., é cerca de \text{R\$}\,4{.}638{.}863{,}89.

Passo 6

Pequeno resumo para a prova (dicas práticas e como fazer rápido):
  • Memorização útil: para anuidade imediata, S=\text{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}, \qquad P=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Se já tiver S pronto, P=\dfrac{S}{(1+i)^n} é uma forma rápida de obter o presente.
  • Em prova sem calculadora, calcule potências por quadratura sucessiva (elevar ao quadrado, depois à quarta, etc.) como fizemos, e mantenha atenção às casas decimais; arredonde só no final.
  • Força! Esses passos batem certinho com os números; faça com calma e verifique potências antes de dividir.

Resposta

\displaystyle S=\text{R\$}\,13{.}232{.}760{,}16
\displaystyle P=\text{R\$}\,4{.}638{.}863{,}89

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