Uma empresa X tem importantes instalações em outros países e seu presidente precisa saber qual é o valor futuro equivalente de um investimento financeiro de um milhão de reais, no final de cada ano, durante oito anos, a partir de hoje. O capital da empresa produz rendimentos à taxa de
a.a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pego do texto):
- Pagamento periódico (anuidade):
por ano. - Prazo:
anos. - Taxa de juros nominal anual:
a.a., ou seja .
O que o problema pede: - Calcular o valor futuro acumulado ao final de 8 anos (valor equivalente futuro), que chamaremos de
. - Calcular o valor presente equivalente hoje (valor atual) dessa série de pagamentos, que chamaremos de
.
Passo 2
Entender a fórmula do valor futuro de uma série de pagamentos iguais feitos ao final de cada período (anuidade imediata).
- Conceito: cada pagamento
aplicado e capitalizado até o final do prazo gera um montante; o valor futuro é a soma desses montantes. - Variáveis:
-
é o pagamento periódico (aqui ). -
é a taxa de juros por período (aqui ). -
é o número de períodos (aqui ).
-
- Derivação (passo a passo, sem pular):
- Colocar os pagamentos em uma sequência e capitalizar cada um para o tempo final: o pagamento do primeiro ano (no final do ano 1) será capitalizado por
anos até o final do ano 8, o pagamento do segundo ano por anos, … o pagamento do último ano (ano 8) não é capitalizado (tem fator ). - Escrever a soma geométrica do montante:
- Multiplicar por
e subtrair para simplificar (técnica clássica para soma de progressão geométrica). Isso leva à fórmula fechada: - Observação prática: essa fórmula vale quando os pagamentos são feitos ao final de cada período (anuidade imediata). Cada termo da fração e cada variável tem o significado dado acima.
- Colocar os pagamentos em uma sequência e capitalizar cada um para o tempo final: o pagamento do primeiro ano (no final do ano 1) será capitalizado por
Passo 3
Calcular
numericamente usando a fórmula.
- Primeiro calcular
com e :
- Agora aplicar a fórmula
substituindo os valores:
- Interpretação curta: depositando
ao final de cada ano, à taxa de a.a., ao final de 8 anos terá acumulado cerca de .
Passo 4
Fórmula do valor presente (hoje) de uma anuidade imediata e derivação rápida.
- Conceito: o valor presente
é a soma dos pagamentos descontados ao valor de hoje. - Fórmula padrão (derivação por soma geométrica ou usando relação entre
e ): - Relação útil entre
e : porque é o valor acumulado ao final do período e, trazendo esse montante a valor presente, divide-se por .
Passo 5
Calcular
numericamente usando a relação
(mais prático, já temos
e
).
- Usando
e , - Alternativamente, usando diretamente a fórmula do presente:
- Interpretação curta: o valor hoje equivalente a receber
ao final de cada ano por 8 anos, à taxa de a.a., é cerca de .
Passo 6
Pequeno resumo para a prova (dicas práticas e como fazer rápido):
- Memorização útil: para anuidade imediata,
- Se já tiver
pronto, é uma forma rápida de obter o presente. - Em prova sem calculadora, calcule potências por quadratura sucessiva (elevar ao quadrado, depois à quarta, etc.) como fizemos, e mantenha atenção às casas decimais; arredonde só no final.
- Força! Esses passos batem certinho com os números; faça com calma e verifique potências antes de dividir.