Uma empresa tem três plantas produzindo 50%, 30% e 20% respectivamente. Cada planta produz 2%,5%e1% peças com defeito.
Se um produto está com defeito, qual a probabilidade de ter vindo da planta 2 ?

Passo 1

Opa! Então tá assim: a gente tem uma empresa com três fábricas (ou plantas) que produzem diferentes frações do total de peças – 50%, 30% e 20%. Cada planta também tem uma taxa de defeito: 2%, 5% e 1%, respectivamente. A pergunta é: “Se eu pego uma peça defeituosa, qual a chance dela ter vindo da planta 2?”
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular a probabilidade total de um evento (Regra da Probabilidade Total)
  • Aplicar o Teorema de Bayes para inverter a condição (queremos P(planta 2 | defeito))

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as probabilidades básicas:
P(Planta 1) = 0,50 e P(defeito | Planta 1) = 0,02
P(Planta 2) = 0,30 e P(defeito | Planta 2) = 0,05
P(Planta 3) = 0,20 e P(defeito | Planta 3) = 0,01
Agora, usando a Regra da Probabilidade Total, calculamos a chance de uma peça qualquer ser defeituosa:
P(defeito) = sumi=1^3 P(planta i),P(defeito mid planta i)

Passo 3

Vamos montar esse somatório:
P(defeito) = P1cdot D1 + P2cdot D2 + P3cdot D3
Substituindo:
P(defeito) = 0,50cdot0,02 + 0,30cdot0,05 + 0,20cdot0,01

Passo 4

Calculando cada termo:
0,50×0,02 = 0,01
0,30×0,05 = 0,015
0,20×0,01 = 0,002
Somando:
P(defeito) = 0,01 + 0,015 + 0,002 = 0,027

Passo 5

Agora sim, aplica o Teorema de Bayes pra achar P(planta 2 | defeito):
P(planta 2 mid defeito) = P(planta 2),P(defeitomidplanta 2)P(defeito) = 0,30 times 0,050,027

Resposta

P(planta 2 mid defeito) = 0,0150,027 approx 0,5556 (ou cerca de 55,56%)

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