Uma empresa testou 4 modelos de formatos de um determinado produto. Querendo testar sua resistência, foram submetidos a uma carga de peso em quilograma.
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4
1530 1610 1560 1500
1530 1650 1730 1490
1440 1500 1530 1510
a) Teste a diferença de resistência entre os modelos a uma significância de 5%
b) Qual/quais modelos apresentam maior resistência, ao nível de confiança de 95 \%

Passo 1

O enunciado nos dá as resistências (em kg) de um produto em quatro modelos, cada um testado em três unidades:
\begin{array}{cccc} \text{Modelo 1}&\text{Modelo 2}&\text{Modelo 3}&\text{Modelo 4}\\\\ 1530&1610&1560&1500\\\\ 1530&1650&1730&1490\\\\ 1440&1500&1530&1510 \end{array}
O que precisamos é:
– (a) testar se as médias de resistência dos quatro modelos são iguais ao nível de significância de 5\%.
– (b) indicar qual(is) modelo(s) tem(m) maior resistência a 95\% de confiança.
Para (a) vamos usar ANOVA unifatorial. Para (b) construiremos intervalos de confiança para cada média.

Passo 2

Calcular as médias de cada modelo e a média global.
– Modelo 1:
\bar x_1=\frac{1530+1530+1440}{3}=1500
– Modelo 2:
\bar x_2=\frac{1610+1650+1500}{3}\approx1586{,}667
– Modelo 3:
\bar x_3=\frac{1560+1730+1530}{3}\approx1606{,}667
– Modelo 4:
\bar x_4=\frac{1500+1490+1510}{3}=1500
Média global (todas as 12 medidas):
\bar x = \frac{4500 + 4760 + 4820 + 4500}{12}\approx1548{,}333

Passo 3

Montar a ANOVA:
  1. Soma de quadrados entre grupos
SS_B = 3\sum_{i=1}^{4}(\bar x_i - \bar x)^2 \approx3\bigl[(-48{,}333)^2 + (38{,}334)^2 + (58{,}334)^2 +(-48{,}333)^2\bigr] \approx28635{,}33
  1. Soma de quadrados dentro dos grupos
SS_W = \sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{3}(x_{ij}-\bar x_i)^2 \approx40929{,}00
Graus de liberdade: df_B=4-1=3, df_W=12-4=8.
Médias quadráticas:
MS_B=\frac{SS_B}{3}\approx9545{,}11,\quad MS_W=\frac{SS_W}{8}\approx5116{,}12
Estatística de teste
F = \frac{MS_B}{MS_W}\approx\frac{9545{,}11}{5116{,}12}\approx1{,}87

Passo 4

Comparar com o valor crítico F_{3,8;0,05}\approx4{,}07. Como
F_{\text{calc}}=1{,}87 < 4{,}07 = F_{\text{crit}},
não rejeitamos H_0. Ou seja, não há evidência de diferença significativa entre as quatro médias ao nível de 5\%.

Passo 5

Para responder (b), vamos montar intervalos de confiança 95\% para cada \mu_i.
A variância residual é MS_W=5116{,}12, e o erro padrão de \bar x_i é
s_{\bar x}=\sqrt{\frac{MS_W}{n}}=\sqrt{\frac{5116{,}12}{3}}\approx41{,}30.
O valor crítico de Student é t_{0,975;8}\approx2{,}306. Logo a margem é
E = 2{,}306\times 41{,}30 \approx95{,}3.
Os intervalos são:
\begin{aligned} \bar x_1&\pm E &&=1500\pm95{,}3\;\to\;[1404{,}7,\,1595{,}3],\\\ \bar x_2&\pm E &&\approx1586{,}7\pm95{,}3\;\to\;[1491{,}4,\,1682{,}0],\\\ \bar x_3&\pm E &&\approx1606{,}7\pm95{,}3\;\to\;[1511{,}4,\,1702{,}0],\\\ \bar x_4&\pm E &&=1500\pm95{,}3\;\to\;[1404{,}7,\,1595{,}3]. \end{aligned}

Passo 6

Comparando as médias e seus intervalos, o Modelo 3 apresenta a maior média de resistência ( \bar x_3\approx1606{,}7) e seu intervalo [1511{,}4,1702{,}0] está deslocado mais para cima.

Resposta

a) Ao nível de 5\%, pelo teste F de ANOVA, não rejeitamos H_0; não há diferença significativa entre os quatro modelos.
b) Considerando as médias e seus intervalos de confiança a 95\%, o Modelo 3 é o que apresenta maior resistência média.

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