Querendo testar a resistência a compressão de seu concreto, uma empresa testou diferentes tipos de misturas e obteve os seguintes dados em \mathrm{N} / \mathrm{mm}^{2}. Teste a hipóteses de que as misturas afetam a resistência à compressão do concreto, com uma significância de 5 \%. A empresa deseja identificar qual (is) misturas de concreto apresentam maior resistência a compressão (NC=95%).
Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3 Mistura 4
3129 3200 2800 2600
3000 3300 2900 2700
2865 2975 2985 2600
2890 3150 3050 2765

Passo 1

O enunciado dá quatro amostras independentes (misturas 1 a 4), cada uma com n=4 valores de resistência à compressão em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. Queremos testar
H_0:\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 \quad\text{versus}\quad H_1:\text{nem todas as }\mu_i\text{ são iguais},ã
usando ANOVA one-way com nível de significância \alpha=0{,}05. Se rejeitarmos H_0, faremos um teste de Tukey (NC =95 %) para identificar quais misturas diferem em média.

Passo 2

Calcular as médias de cada grupo e a média geral:
\bar x_1 = \frac{3129+3000+2865+2890}{4} = 2971, \qquad \bar x_2 = 3156{,}25,
\bar x_3 = 2933{,}75, \qquad \bar x_4 = 2666{,}25,
\bar x_{\text{G}} = \frac{11884 + 12625 + 11735 + 10665}{16} = 2931{,}8125.

Passo 3

Computar a soma de quadrados entre (SSB) e dentro (SSW) dos grupos:
\text{SSB} = \sum_{i=1}^4 n(\bar x_i - \bar x_{\text{G}})^2 \approx 489740{,}19,
\text{SSW} = \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^{4}(x_{ij}-\bar x_i)^2 \approx 153913{,}75.
Graus de liberdade: df_{\text B}=3, df_{\text W}=12. Então
\text{MSB} = \frac{\text{SSB}}{3}\approx163246{,}73, \quad \text{MSW}=\frac{\text{SSW}}{12}\approx12826{,}15,
F_0 = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}\approx12{,}73.

Passo 4

Comparando com F_{3,12;0,95}\approx3{,}49, temos F_0>3{,}49. Logo rejeitamos H_0 e concluímos que há diferença entre as médias das misturas.

Passo 5

Para ver quais pares diferem, usamos o teste de Tukey. O valor crítico da tabela é q_{0,95}(4,12)\approx3{,}77. O menor diferença significativa (HSD) é
\text{HSD} = q \,\sqrt{\frac{\text{MSW}}{n}} \approx 3{,}77\;\sqrt{\frac{12826{,}15}{4}} \approx213{,}46.

Passo 6

Calcular as diferenças absolutas entre médias e comparar com HSD:
|\bar x_2-\bar x_1|=185{,}25<213{,}46\quad(\text{ns}),
|\bar x_2-\bar x_3|=222{,}50>213{,}46\quad(\ast),
|\bar x_2-\bar x_4|=490{,}00>213{,}46\quad(\ast),
|\bar x_1-\bar x_3|=37{,}25<213{,}46\quad(\text{ns}),
|\bar x_1-\bar x_4|=304{,}75>213{,}46\quad(\ast),
|\bar x_3-\bar x_4|=267{,}50>213{,}46\quad(\ast).
(“ \ast” indica diferença significativa, “ns” indica não significativa.)

Resposta

Rejeita-se H_0. Pelo teste de Tukey ( 95 %):
  • A mistura 2 difere significativamente de 3 e 4 (é maior).
  • A mistura 1 não difere de 2 nem de 3, mas difere de 4.
  • A mistura 3 difere de 4.
    Logo, as misturas com maior resistência são a 2 e (indistinguivelmente) a 1; a 4 é a menor.

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