Uma pesquisa conclui que 90 \% dos funcionários de uma empresa tem filhos. Teste a afirmação, ao nível de significância de 0,05 , contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 90 \%, se numa amostra aleatória de 100 funcionários, 80% tem filhos.

Passo 1

O enunciado faz um teste de hipótese para a proporção de funcionários que têm filhos. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, a hipótese nula de que a proporção verdadeira é p_0=0,9 contra a alternativa de que ela é inferior a 0,9, usando uma amostra de n=100 funcionários na qual a proporção observada é \hat p=0,8. O conteúdo aqui é o teste-z para proporção com aproximação normal, válido pois n p_0=90 e n(1-p_0)=10 são ambos \ge5.

Passo 2

Definimos as hipóteses e o tipo de teste:
H_0: p = 0,9
H_1: p < 0,9
É um teste unilateral à esquerda, com nível de significância \alpha=0,05. Sob H_0, o estatístico
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão.

Passo 3

Calculamos o desvio–padrão sob H_0:
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} =\sqrt{\frac{0,9\cdot 0,1}{100}} =\sqrt{0,0009} =0,03.
Logo, o valor observado de Z é
Z_{\text{obs}} =\frac{0,8 - 0,9}{0,03} =\frac{-0,1}{0,03} \approx -3,33.

Passo 4

O valor crítico para um teste unilateral à esquerda com \alpha=0,05 é
Z_{\text{crit}} = -1,645.

Passo 5

Comparando Z_{\text{obs}} com Z_{\text{crit}}:
-3,33 < -1,645,
portanto Z_{\text{obs}} cai na região de rejeição de H_0.

Resposta

Rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que a proporção de funcionários com filhos é inferior a 90\%.

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