Um fabricante de peças automotivas afirma que a percentagem de peças defeituosas é, no máximo, igual a 3 \%. Uma pesquisa aleatória acusa 4 peças defeituosas em 50. Considerando uma significância de 95 \%, teste a afirmativa de que o número de peças defeituosas é no máximo 3 \%.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para a proporção de peças defeituosas. Temos uma amostra de n=50 peças, com X=4 defeituosas, e queremos testar, ao nível de significância de 95\% (ou \alpha=0,05), se a proporção verdadeira p satisfaz
H_0: p \le 0,03 \quad\text{versus}\quad H_a: p > 0,03.
Como n p_0 = 50\cdot0,03 =1,5<5, o critério de aproximar pela normal não é confiável. Vamos, então, usar o teste exato binomial.

Passo 2

Sob H_0, X\sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=50,\;p_0=0,03\bigr). O valor-p para um teste unilateral à direita é
\text{p-valor} = P(X \ge 4) = 1 - \sum_{k=0}^{3} P(X=k) = 1 - \sum_{k=0}^{3} \binom{50}{k}\,0,03^k\,0,97^{50-k}.

Passo 3

Vamos calcular cada termo \displaystyle P(X=k)=\binom{50}{k}0,03^k0,97^{50-k} para k=0,1,2,3:
P(X=0) = 0,97^{50}\approx0,218,
P(X=1) = \binom{50}{1}0,03\,0,97^{49} =50\cdot0,03\cdot0,97^{49}\approx0,337,
P(X=2) = \binom{50}{2}0,03^2\,0,97^{48} \approx0,254,
P(X=3) = \binom{50}{3}0,03^3\,0,97^{47} \approx0,126.

Passo 4

Somando esses valores:
\sum_{k=0}^{3}P(X=k)\approx0,218+0,337+0,254+0,126=0,935.
Logo
\text{p-valor} = 1 - 0,935 = 0,065.

Passo 5

Comparando com \alpha=0,05:
0,065 > 0,05,
não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência suficiente, ao nível de 95\%, para rejeitar a afirmação de que a proporção de peças defeituosas é, no máximo, 3\%.

Exercícios relacionados