Uma empresa está trabalhando em 4 projetos independentes, A, B, C e D, com lucros esperados de $4000, $5000, $10000, $20000, e desvios padrões de $100, $200, $300 e
respectivamente.
a) Determine o lucro esperado total destes quatro projetos e o desvio padrão total. (R.: 39000; 547,72)
b) Se os projetos NÃO fossem independentes você poderia resolver o item a? Justifique sua resposta.
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 101.
a) Determine o lucro esperado total destes quatro projetos e o desvio padrão total. (R.: 39000; 547,72)
b) Se os projetos NÃO fossem independentes você poderia resolver o item a? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o lucro esperado total e o desvio padrão do somatório de quatro projetos independentes (A, B, C, D) dados seus lucros esperados e desvios padrões, usando propriedades de expectativa e variância de somas de variáveis independentes.
Passo 2
Sabendo que a expectativa de uma soma é a soma das expectativas, calculamos
Passo 3
Como os projetos são independentes, a variância total é a soma das variâncias. Primeiro expressamos cada variância como o quadrado do desvio padrão:
Passo 4
Então
Passo 5
O desvio padrão total é a raiz quadrada da variância:
Passo 6
Se os projetos não fossem independentes, não poderíamos somar variâncias diretamente: faltar-iam as covariâncias
para determinar
. Por isso, sem independência e sem informação adicional sobre covariâncias, não se consegue calcular o desvio padrão do total.
Resposta
a) Lucro esperado total = 39000; desvio padrão total ≈ 547.72
b) Não. Sem independência não conhecemos as covariâncias necessárias para calcular a variância (e, portanto, o desvio padrão) do total.
b) Não. Sem independência não conhecemos as covariâncias necessárias para calcular a variância (e, portanto, o desvio padrão) do total.