Uma empresa está trabalhando em 4 projetos independentes, A, B, C e D, com lucros esperados de $4000, $5000, $10000, $20000, e desvios padrões de $100, $200, $300 e 4000, respectivamente.
a) Determine o lucro esperado total destes quatro projetos e o desvio padrão total. (R.: 39000; 547,72)
b) Se os projetos NÃO fossem independentes você poderia resolver o item a? Justifique sua resposta.
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 101.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o lucro esperado total e o desvio padrão do somatório de quatro projetos independentes (A, B, C, D) dados seus lucros esperados e desvios padrões, usando propriedades de expectativa e variância de somas de variáveis independentes.

Passo 2

Sabendo que a expectativa de uma soma é a soma das expectativas, calculamos
E(T) = E(A)+E(B)+E(C)+E(D) = 4000 + 5000 + 10000 + 20000 = 39000

Passo 3

Como os projetos são independentes, a variância total é a soma das variâncias. Primeiro expressamos cada variância como o quadrado do desvio padrão:
Var(A)=100^2=10000, Var(B)=200^2=40000, Var(C)=300^2=90000, Var(D)=400^2=160000

Passo 4

Então
Var(T)=10000+40000+90000+160000=300000

Passo 5

O desvio padrão total é a raiz quadrada da variância:
sigmaT = raiz300000approx 547.72

Passo 6

Se os projetos não fossem independentes, não poderíamos somar variâncias diretamente: faltar-iam as covariâncias Cov(Xi,Xj) para determinar Var(T). Por isso, sem independência e sem informação adicional sobre covariâncias, não se consegue calcular o desvio padrão do total.

Resposta

a) Lucro esperado total = 39000; desvio padrão total ≈ 547.72
b) Não. Sem independência não conhecemos as covariâncias necessárias para calcular a variância (e, portanto, o desvio padrão) do total.

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