Estatísticas do tráfego revelam que 25 % dos veículos interceptados numa auto-estrada não passam no teste de segurança. Há interesse em calcular a probabilidade de que 0,1 , 2, etc., carros não passem no teste. Doze carros são interceptados e submetidos ao teste.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Qual é a probabilidade de que 2 ou mais não passem? (R.: 0,841618 )
c) Qual é a probabilidade de que 4 ou mais não passem? ( R: 0 0,35122 )
d) Qual é a probabilidade de que ao menos um não passe? (R.: 0,9683 )
e) Quantos carros em média não pássam no teste? Qual éo desvio padrão do número de carros que não passam no teste? (R.: 3; 1,5)

Passo 1

Neste problema, interceptamos 12 carros num teste de segurança e cada carro tem probabilidade de 25% de não passar. Vamos usar conceitos de distribuição binomial, cálculo de probabilidades acumuladas, média e desvio padrão.

Passo 2

O modelo teórico adequado é a distribuição binomial porque temos um número fixo de ensaios independentes (12 carros), cada um com só dois resultados (passa ou não passa) e probabilidade constante de “sucesso” (não passar) igual a 0,25. Formalmente, XsimBinomial(n=12,p=0.25).

Passo 3

Para achar P(X>=2) usamos a complementar:
P(X>=2)=1-l[P(X=0)+P(X=1)]
Calculamos cada termo:
P(X=0)=binom120(0.25)^0(0.75)^12=0.75^12approx0.031676
P(X=1)=binom121(0.25)^1(0.75)^11=12cdot0.25cdot0.75^11approx0.126705
Somando dá 0.158381 e subtraindo de 1 vem P(X>=2)approx0.841619.

Passo 4

Para P(X>=4) usamos:
P(X>=4)=1-sumk=0^3P(X=k)
Calculando os termos de k=0,1,2,3 e somando, chega-se a P(X>=4)approx0.35122.

Passo 5

Para a probabilidade de pelo menos um não passar:
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-0.75^12approx0.968324
Portanto, aproximadamente 0.9683.

Passo 6

A média da distribuição binomial é E[X]=np=12times0.25=3.

Passo 7

O desvio padrão é sigma=raiznp(1-p)=raiz12times0.25times0.75=raiz2.25=1.5.

Resposta

a) Distribuição Binomial XsimBinomial(n=12,p=0.25); b) 0.841618; c) 0.35122; d) 0.9683; e) E[X]=3, sigma=1.5.

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