Num estudo sobre a renda de uma população foram entrevistadas 150 pessoas, das quais 27 afirmaram ter uma renda superior a 8 mil reais.
a) Dê uma estimativa da proporção trabalhadores desta população com renda superior a 8 mil reais.
b) Construa intervalos de confiança 95 \% para a proporção usando o método tradicional e o conservativo, Compare os resultados.
c) Considere o comprimento do IC calculado pelo método conservativo no item (b). Se a estimativa da proporção não muda, de quanto é o nível de confiança de um intervalo calculado pelo método tradicional, mas que tenha esse mesmo comprimento?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=150 na qual observaram-se x=27 pessoas com renda acima de 8000 R$. O conteúdo é inferência para proporção populacional p: vamos estimar \hat p e construir intervalos de confiança de 95\% pelo método tradicional (Wald) e pelo método conservativo (maximização da variância), compará-los e, em seguida, achar o nível de confiança tradicional que produz o mesmo comprimento do conservativo.

Passo 2

A estimativa pontual da proporção é
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{27}{150} = 0,18.

Passo 3

O intervalo de confiança tradicional de 95\% (Wald) usa
\hat p \pm z_{0,025}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde z_{0,025}=1,96. Calculamos primeiro o erro padrão:
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,18\,(1-0,18)}{150}} =\sqrt{\frac{0,18\cdot0,82}{150}} =\sqrt{0,000984} \approx 0,0314.
Logo, a meia-amplitude é
1,96 \times 0,0314 \approx 0,0615
e o IC tradicional é
[\,0,18 - 0,0615,\;0,18 + 0,0615\,] \approx [\,0,1185,\;0,2415\,].

Passo 4

O intervalo conservativo de 95\% assume variância máxima p(1-p)\le 1/4, de modo que
\text{meia-amplitude} = z_{0,025}\,\sqrt{\frac{1/4}{n}} =1,96\,\sqrt{\frac{1}{4\cdot150}} =1,96\,\sqrt{\frac{1}{600}} \approx 1,96\times0,0408 \approx 0,080.
Então o IC conservativo é
[\,0,18 - 0,080,\;0,18 + 0,080\,] =[\,0,10,\;0,26\,].

Passo 5

Comparando os resultados:
IC tradicional 95\%\approx[0,1185,\,0,2415]
IC conservativo 95\%=[0,10,\,0,26]
O conservativo é mais largo porque não aproveita a informação de \hat p.

Passo 6

O comprimento do IC conservativo é
L_c = 2 \times 0,080 = 0,16.
Queremos achar z^* tal que o IC tradicional tenha esse mesmo comprimento, ou seja
2\,z^*\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = 0,16.
Isolando z^*:
z^* = \frac{0,16}{2\,\sqrt{\frac{0,18\cdot0,82}{150}}} = \frac{0,16}{2\times0,0314} \approx \frac{0,16}{0,0628} \approx 2,55.
O nível de confiança correspondente é
\text{NC} = 2\,\Phi(2,55) - 1 \approx 2\times0,9947 - 1 \approx 0,9894,
ou seja aproximadamente 98{,}9\%.

Resposta

a) \hat p=0,18.
b) IC tradicional de 95\%\approx[0,1185,\,0,2415]; IC conservativo de 95\%=[0,10,\,0,26].
c) Para manter o mesmo comprimento do conservativo, o IC tradicional precisaria ter nível de confiança de aproximadamente 98{,}9\%.

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