Num estudo sobre a renda de uma população foram entrevistadas 150 pessoas, das quais 27 afirmaram ter uma renda superior a 8 mil reais.
a) Dê uma estimativa da proporção trabalhadores desta população com renda superior a 8 mil reais.
b) Construa intervalos de confiança
para a proporção usando o método tradicional e o conservativo, Compare os resultados.
c) Considere o comprimento do IC calculado pelo método conservativo no item (b). Se a estimativa da proporção não muda, de quanto é o nível de confiança de um intervalo calculado pelo método tradicional, mas que tenha esse mesmo comprimento?
a) Dê uma estimativa da proporção trabalhadores desta população com renda superior a 8 mil reais.
b) Construa intervalos de confiança
c) Considere o comprimento do IC calculado pelo método conservativo no item (b). Se a estimativa da proporção não muda, de quanto é o nível de confiança de um intervalo calculado pelo método tradicional, mas que tenha esse mesmo comprimento?
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra de tamanho
na qual observaram-se
pessoas com renda acima de
R$. O conteúdo é inferência para proporção populacional
: vamos estimar
e construir intervalos de confiança de
pelo método tradicional (Wald) e pelo método conservativo (maximização da variância), compará-los e, em seguida, achar o nível de confiança tradicional que produz o mesmo comprimento do conservativo.
Passo 2
A estimativa pontual da proporção é
Passo 3
O intervalo de confiança tradicional de
(Wald) usa
onde
. Calculamos primeiro o erro padrão:
Logo, a meia-amplitude é
e o IC tradicional é
Passo 4
O intervalo conservativo de
assume variância máxima
, de modo que
Então o IC conservativo é
Passo 5
Comparando os resultados:
IC tradicional
IC conservativo
O conservativo é mais largo porque não aproveita a informação de .
IC tradicional
IC conservativo
O conservativo é mais largo porque não aproveita a informação de
Passo 6
O comprimento do IC conservativo é
Queremos achar
tal que o IC tradicional tenha esse mesmo comprimento, ou seja
Isolando
:
O nível de confiança correspondente é
ou seja aproximadamente
.
Resposta
a)
.
b) IC tradicional de ; IC conservativo de
.
c) Para manter o mesmo comprimento do conservativo, o IC tradicional precisaria ter nível de confiança de aproximadamente .
b) IC tradicional de
c) Para manter o mesmo comprimento do conservativo, o IC tradicional precisaria ter nível de confiança de aproximadamente