A empresa X utiliza em seu processo produtivo um determinado insumo. Ela costuma receber esse insumo na forma de galões que provêm de quatro fornecedores A, B, C e D, nas proporções de 40 %, 30 %, 20 % e 10 %, respectivamente. Ocorre que o conteúdo desses galões às vezes apresenta uma característica corrosiva prejudicial à produção. Admita que esse problema ocorre em 5% dos galões provenientes de A e de Beem 3% dos galões provenientes de C e de D. Suponha agora que foi aberto um galão desse insumo retirado ao acaso do estoque da empresa X :
(a) Qual a probabilidade de que o seu conteúdo apresente esse efeito corrosivo?
(b) Dado que o efeito corrosivo está presente, qual a probabilidade de que o galão tenha vindo do fornecedor A? E de D?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos apresenta. A empresa X recebe insumos (galões) de quatro fornecedores diferentes: A, B, C e D. As proporções de fornecimento são:
  • Fornecedor A: 40%
  • Fornecedor B: 30%
  • Fornecedor C: 20%
  • Fornecedor D: 10%
Alguns desses galões têm uma característica corrosiva que pode prejudicar a produção. As probabilidades de um galão ser corrosivo são:
  • Fornecedor A: 5% ou 0,05
  • Fornecedor B: 5% ou 0,05
  • Fornecedor C: 3% ou 0,03
  • Fornecedor D: 3% ou 0,03
Vamos utilizar conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Qual a probabilidade de que o conteúdo do galão apresente o efeito corrosivo?
Para encontrar essa probabilidade, vamos calcular a probabilidade total de um galão ser corrosivo, considerando todos os fornecedores. A probabilidade total P(C) é dada pela soma das probabilidades de ser corrosivo de cada fornecedor, multiplicadas pela proporção de cada fornecedor:
P(C) = P(A) times P(C|A) + P(B) times P(C|B) + P(C) times P(C|C) + P(D) times P(C|D)
Onde:
  • P(A) = 0,40 (proporção do fornecedor A)
  • P(B) = 0,30 (proporção do fornecedor B)
  • P(C) = 0,20 (proporção do fornecedor C)
  • P(D) = 0,10 (proporção do fornecedor D)
  • P(C|A) = 0,05 (probabilidade de corrosão dado que veio do A)
  • P(C|B) = 0,05 (probabilidade de corrosão dado que veio do B)
  • P(C|C) = 0,03 (probabilidade de corrosão dado que veio do C)
  • P(C|D) = 0,03 (probabilidade de corrosão dado que veio do D)
Vamos substituir esses valores na fórmula:
P(C) = 0,40 times 0,05 + 0,30 times 0,05 + 0,20 times 0,03 + 0,10 times 0,03

Passo 3

Agora, vamos realizar os cálculos passo a passo:
P(C) = (0,40 times 0,05) + (0,30 times 0,05) + (0,20 times 0,03) + (0,10 times 0,03)
Calculando cada termo:
0,40 times 0,05 = 0,020
0,30 times 0,05 = 0,015
0,20 times 0,03 = 0,006
0,10 times 0,03 = 0,003
Agora, somamos todos os resultados:
P(C) = 0,020 + 0,015 + 0,006 + 0,003 = 0,044

Passo 4

Portanto, a probabilidade de que o conteúdo de um galão retirado ao acaso apresente o efeito corrosivo é de 4,4%.

Passo 5

Parte (b): Dado que o efeito corrosivo está presente, qual a probabilidade de que o galão tenha vindo do fornecedor A? E de D?
Aqui, vamos usar a probabilidade condicional. Queremos encontrar P(A|C) e P(D|C) , ou seja, a probabilidade de o galão ser do fornecedor A ou D, dado que ele é corrosivo.
A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A|C) = P(A) times P(C|A)P(C)
P(D|C) = P(D) times P(C|D)P(C)
Já calculamos P(C) = 0,044 na parte (a).

Passo 6

Vamos calcular P(A|C) :
P(A|C) = 0,40 times 0,050,044
P(A|C) = 0,0200,044 approx 0,4545
Agora, calculamos P(D|C) :
P(D|C) = 0,10 times 0,030,044
P(D|C) = 0,0030,044 approx 0,0682

Passo 7

Convertendo para porcentagem:
P(A|C) approx 45,45%
P(D|C) approx 6,82%

Resposta

(a) A probabilidade de que o conteúdo do galão apresente o efeito corrosivo é de 4,4%.
(b) Dado que o efeito corrosivo está presente:
  • A probabilidade de que o galão tenha vindo do fornecedor A é de aproximadamente 45,45%.
  • A probabilidade de que o galão tenha vindo do fornecedor D é de aproximadamente 6,82%.

Exercícios relacionados