Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros chamados
e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são
e
, respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma série de 3. Que série é mais favorável para o jogador
ou
?
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um jogador que vai enfrentar dois adversários, o A e o B, em um torneio. As chances dele ganhar de A é de
e de B é de
. O jogador precisa ganhar dois jogos seguidos em uma série de 3 partidas para vencer o torneio. A questão quer saber qual das duas séries é melhor para ele:
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série
. Essa sequência significa que o jogador vai enfrentar A, depois B, e depois A novamente. Vamos listar todas as combinações possíveis de vitórias e derrotas nessas três partidas e calcular a probabilidade de ganhar duas partidas seguidas.
Passo 3
As possíveis sequências de resultados para a série
são:
- Ganha de A, ganha de B, ganha de A (GGG)
- Ganha de A, ganha de B, perde de A (GGP)
- Ganha de A, perde de B, ganha de A (GPG)
- Ganha de A, perde de B, perde de A (GPP)
- Perde de A, ganha de B, ganha de A (PGG)
- Perde de A, ganha de B, perde de A (PGP)
- Perde de A, perde de B, ganha de A (PPG)
- Perde de A, perde de B, perde de A (PPP)
Passo 4
Agora, vamos identificar quais dessas sequências têm dois ganhos seguidos:
- GGG: Sim, três ganhos seguidos.
- GGP: Sim, os dois primeiros jogos são ganhos.
- GPG: Sim, os ganhos estão na primeira e terceira partida, mas não são consecutivos.
- PGG: Sim, os dois últimos jogos são ganhos.
Outras sequências não têm dois ganhos seguidos.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade para cada sequência que tem dois ganhos seguidos na série
:
- GGG:
- GGP:
- PGG:
Passo 6
Somando as probabilidades das sequências que dão dois ganhos seguidos na série
:
Passo 7
Agora, vamos analisar a série
. A sequência de partidas é B, A, B. Vamos listar as possíveis sequências de resultados:
- Ganha de B, ganha de A, ganha de B (GGG)
- Ganha de B, ganha de A, perde de B (GGP)
- Ganha de B, perde de A, ganha de B (GPG)
- Ganha de B, perde de A, perde de B (GPP)
- Perde de B, ganha de A, ganha de B (PGG)
- Perde de B, ganha de A, perde de B (PGP)
- Perde de B, perde de A, ganha de B (PPG)
- Perde de B, perde de A, perde de B (PPP)
Passo 8
Vamos identificar as sequências com dois ganhos seguidos na série
:
- GGG: Sim, três ganhos seguidos.
- GGP: Sim, os dois primeiros jogos são ganhos.
- PGG: Sim, os dois últimos jogos são ganhos.
Passo 9
Calculando a probabilidade para cada sequência com dois ganhos seguidos na série
:
- GGG:
- GGP:
- PGG:
Passo 10
Somando as probabilidades das sequências que dão dois ganhos seguidos na série
:
Passo 11
Comparando as duas séries:
- Série
: Probabilidade de vencer o torneio = - Série
: Probabilidade de vencer o torneio =
Resposta
As duas séries,
e
, têm a mesma probabilidade de o jogador vencer o torneio, que é
.