Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros chamados A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1 / 3 e 2 / 3, respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma série de 3. Que série é mais favorável para o jogador A B A ou B A B ?

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um jogador que vai enfrentar dois adversários, o A e o B, em um torneio. As chances dele ganhar de A é de 13 e de B é de 23. O jogador precisa ganhar dois jogos seguidos em uma série de 3 partidas para vencer o torneio. A questão quer saber qual das duas séries é melhor para ele: A B A ou B A B.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série A B A. Essa sequência significa que o jogador vai enfrentar A, depois B, e depois A novamente. Vamos listar todas as combinações possíveis de vitórias e derrotas nessas três partidas e calcular a probabilidade de ganhar duas partidas seguidas.

Passo 3

As possíveis sequências de resultados para a série A B A são:
  1. Ganha de A, ganha de B, ganha de A (GGG)
  2. Ganha de A, ganha de B, perde de A (GGP)
  3. Ganha de A, perde de B, ganha de A (GPG)
  4. Ganha de A, perde de B, perde de A (GPP)
  5. Perde de A, ganha de B, ganha de A (PGG)
  6. Perde de A, ganha de B, perde de A (PGP)
  7. Perde de A, perde de B, ganha de A (PPG)
  8. Perde de A, perde de B, perde de A (PPP)

Passo 4

Agora, vamos identificar quais dessas sequências têm dois ganhos seguidos:
  1. GGG: Sim, três ganhos seguidos.
  2. GGP: Sim, os dois primeiros jogos são ganhos.
  3. GPG: Sim, os ganhos estão na primeira e terceira partida, mas não são consecutivos.
  4. PGG: Sim, os dois últimos jogos são ganhos.
    Outras sequências não têm dois ganhos seguidos.

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade para cada sequência que tem dois ganhos seguidos na série A B A:
  1. GGG: 13 times 23 times 13 = 227
  2. GGP: 13 times 23 times 23 = 427
  3. PGG: 23 times 23 times 13 = 427

Passo 6

Somando as probabilidades das sequências que dão dois ganhos seguidos na série A B A:
227 + 427 + 427 = 1027

Passo 7

Agora, vamos analisar a série B A B. A sequência de partidas é B, A, B. Vamos listar as possíveis sequências de resultados:
  1. Ganha de B, ganha de A, ganha de B (GGG)
  2. Ganha de B, ganha de A, perde de B (GGP)
  3. Ganha de B, perde de A, ganha de B (GPG)
  4. Ganha de B, perde de A, perde de B (GPP)
  5. Perde de B, ganha de A, ganha de B (PGG)
  6. Perde de B, ganha de A, perde de B (PGP)
  7. Perde de B, perde de A, ganha de B (PPG)
  8. Perde de B, perde de A, perde de B (PPP)

Passo 8

Vamos identificar as sequências com dois ganhos seguidos na série B A B:
  1. GGG: Sim, três ganhos seguidos.
  2. GGP: Sim, os dois primeiros jogos são ganhos.
  3. PGG: Sim, os dois últimos jogos são ganhos.

Passo 9

Calculando a probabilidade para cada sequência com dois ganhos seguidos na série B A B:
  1. GGG: 23 times 13 times 23 = 427
  2. GGP: 23 times 13 times 23 = 427
  3. PGG: 13 times 13 times 23 = 227

Passo 10

Somando as probabilidades das sequências que dão dois ganhos seguidos na série B A B:
427 + 427 + 227 = 1027

Passo 11

Comparando as duas séries:
  • Série A B A: Probabilidade de vencer o torneio = 1027
  • Série B A B: Probabilidade de vencer o torneio = 1027

Resposta

As duas séries, A B A e B A B, têm a mesma probabilidade de o jogador vencer o torneio, que é 1027.

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