Na produção de microchips de arsênio de gálio, sabe-se que a razão entre gálio e arseneto é independente de se produzir uma alta porcentagem de pastilhas trabalháveis, que são os principais componentes de microchip. Seja X a razão entre gálio e arseneto e Y, a porcentagem de micropastilhas trabalháveis devolvidas durante um período de uma hora. X e Y são variáveis aleatórias independentes com densidade conjunta abaixo. Mostre que E(X Y)=E(X) E(Y) através desse exemplo.
f(x, y)= x(1+3 y^2)4, & 0<x<2 ; 0<y<1 0, & cc

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=xl(1+3y^2r)4, 0<x<2,;0<y<1,
de duas variáveis contínuas X e Y. Queremos mostrar, por meio de cálculo explícito, que
E(XY)=E(X),E(Y)
Para isso vamos (i) obter as densidades marginais, (ii) calcular E(X) e E(Y), (iii) calcular E(XY) diretamente e (iv) comparar os resultados.

Passo 2

Calcular as marginais mostrando a independência por fatoração.
Para fX(x) integramos em y:
fX(x) =integral0^1 xl(1+3y^2r)4,dy =x4integral0^1l(1+3y^2r)dy =x4l[,y+y^3r]0^1 =x4cdot2 =x2, 0<x<2
Para fY(y) integramos em x:
fY(y) =integral0^2 xl(1+3y^2r)4,dx =1+3y^24integral0^2x,dx =1+3y^24cdot2 =1+3y^22, 0<y<1
Logo
fX(x),fY(y) =x2cdot1+3y^22 =xl(1+3y^2r)4 =f(x,y),
confirmando que X e Y são independentes.

Passo 3

Calcular E(X) usando fX(x):
E(X) =integral0^2 x,fX(x),dx =integral0^2 xcdotx2,dx =12integral0^2x^2dx =12cdot2^33 =43

Passo 4

Calcular E(Y) usando fY(y):
E(Y) =integral0^1 y,fY(y),dy =integral0^1 ycdot1+3y^22,dy =12integral0^1l(y+3y^3r)dy =12l[tfracy^22+tfrac3y^44r]0^1 =12cdot54 =58

Passo 5

Calcular E(XY) diretamente pela densidade conjunta:
E(XY) =integral0^2integral0^1 xy,f(x,y),dy,dx =integral0^2integral0^1xycdotxl(1+3y^2r)4,dy,dx =integral0^2x^24l[integral0^1!l(y+3y^3r)dyr]dx
Como integral0^1(y+3y^3)dy=5/4, segue
E(XY) =integral0^2x^24cdot54,dx =516integral0^2x^2dx =516cdot83 =56

Passo 6

Comparando
E(X)=43, E(Y)=58 Longrightarrow E(X),E(Y)=43cdot58=56
e verificamos que
E(XY)=56=E(X),E(Y)

Resposta

E(X)=43
E(Y)=58
E(XY)=56, logo E(XY)=E(X),E(Y).

Exercícios relacionados