Uma empresa vem controlando o seu consumo de energia desde 2001, por conta do racionamento imposto pelo governo à sociedade. Seu principal gasto é com energia, inclusive aquela desperdiçada no forno, cuja parede é constituída de uma camada de 0,20 \mathrm{~m} de tijolos refratários \left(\mathrm{k}=1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right) e outra de 0,10 \mathrm{~m} de tijolos isolantes (\mathrm{k}= 0,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ).
Um grave problema é que, sendo a temperatura interna igual a 1700^{\circ} \mathrm{C}, a parede mais externa chega a 100^{\circ} \mathrm{C}, prejudicando a saúde do operador. Foi proposto o acréscimo de 2 cm à parede externa, de um determinado material isolante ( \mathrm{k}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) a fim de que a temperatura nessa face caia para 27^{\circ} \mathrm{C}. Calcular:
a) a redução percentual de calor com a colocação do isolamento;
b) o tempo de amortização do investimento, sabendo que:
Custo do isolante =100 \mathrm{U} \mathrm{\} / \mathrm{m}^{2}$
Custo de energia = 2 U$/GJ

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Espessura da camada interna (tijolo refratário): \,L_1 = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do refratário: \,k_1 = 1{,}2\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Espessura da segunda camada (tijolo isolante): \,L_2 = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do segundo tijolo: \,k_2 = 0{,}8\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Temperatura interna (face quente): \,T_{\text{int}} = 1700^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura externa atual (sem o novo isolante): \,T_{\text{ext,atual}} = 100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Novo isolante proposto: espessura \,L_3 = 0{,}02\\ \mathrm{m} e \,k_3 = 0{,}15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Objetivo com o novo isolante: temperatura na face externa desejada \,T_{\text{ext,novo}} = 27^{\circ}\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Calcular a redução percentual do fluxo de calor (por unidade de área) com a colocação do isolamento.
(b) Calcular o tempo de amortização do investimento, sabendo que: custo do isolante =100\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{m}^2 e custo da energia =2\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{GJ}.
Observação implícita que vou usar: regime estacionário unidimensional de condução através das camadas em série (não há troca de calor por convecção/irradiação adicional usada nos cálculos), e vamos trabalhar por unidade de área (por 1\\ \mathrm{m}^2).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida):
  • Em condução 1D em estado estacionário através de várias camadas em série, o fluxo de calor por unidade de área \,q (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) entre as faces quente e fria é dado por
q=\frac{T_{\text{quente}}-T_{\text{fria}}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a resistência térmica total da parede por unidade de área, sendo para cada camada
R_i=\frac{L_i}{k_i}.
  • Aqui L_i é a espessura da camada i (em m) e k_i é a condutividade térmica (em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})). As resistências somam: \,R_{\text{total}}=\sum_i R_i.
Vou primeiro calcular a resistência total da parede atual (duas camadas) e depois com a nova camada.
Cálculo das resistências:
R_1=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0{,}20}{1{,}2}=\frac{1}{6}=0{,}166\overline{6}\\ \mathrm{K\cdot m^2/W},
R_2=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0{,}10}{0{,}8}=\frac{1}{8}=0{,}125\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
Resistência total atual:
R_{\text{atual}}=R_1+R_2=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}=0{,}291666\ldots\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.

Passo 3

Cálculo do fluxo de calor antes do isolamento adicional (por 1\\ \mathrm{m}^2):
  • A face externa atual está a \,T_{\text{ext,atual}}=100^{\circ}\mathrm{C}. Assim, o fluxo de calor que atravessa as duas camadas na situação atual é
q_{\text{old}}=\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext,atual}}}{R_{\text{atual}}} =\frac{1700-100}{7/24} =\frac{1600}{7/24}.
Fazendo as contas:
q_{\text{old}}=1600\cdot\frac{24}{7}=\frac{38400}{7}\approx 5485{,}714\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: sem o novo isolante, por cada metro quadrado da parede estão sendo perdidos cerca de 5485{,}7\\ \mathrm{W} do forno (fluxo contínuo).

Passo 4

Cálculo com o novo isolante (camada 3):
  • Resistência da nova camada:
R_3=\frac{L_3}{k_3}=\frac{0{,}02}{0{,}15}=\frac{2}{15}=0{,}133\overline{3}\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • Resistência total nova:
R_{\text{novo}}=R_{\text{atual}}+R_3=\frac{7}{24}+\frac{2}{15}=\frac{51}{120}=\frac{17}{40}=0{,}425\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • Com a nova camada, a face externa desejada será \,T_{\text{ext,novo}}=27^{\circ}\mathrm{C}. Logo o fluxo de calor por metro quadrado na nova situação é
q_{\text{new}}=\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext,novo}}}{R_{\text{novo}}} =\frac{1700-27}{17/40} =\frac{1673}{17/40}.
Fazendo as contas:
q_{\text{new}}=1673\cdot\frac{40}{17}=\frac{66920}{17}\approx 3936{,}471\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Cálculo da redução percentual do calor (parte a):
  • Redução absoluta do fluxo (por 1\\ \mathrm{m}^2):
\Delta q = q_{\text{old}}-q_{\text{new}}\approx 5485{,}714-3936{,}471=1549{,}243\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Redução percentual:
\text{redução (\%)}=\frac{\Delta q}{q_{\text{old}}}\times 100\% =\frac{1549{,}243}{5485{,}714}\times 100\%\approx 28{,}25\%.çã
Portanto a redução percentual do fluxo de calor é aproximadamente \,28{,}25\%.

Passo 6

Tempo de amortização (parte b) — explicando unidades e conversões:
  • Custo do isolante por metro quadrado: \,C_{\text{inst}}=100\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{m}^2.
  • Preço da energia: \,p_{\text{energia}}=2\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{GJ}=2\times 10^{-9}\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{J}.
  • Economia de potência por 1\\ \mathrm{m}^2 é \Delta q (em W = J/s). A economia monetária por segundo é \Delta q \times p_{\text{energia}}.
    Cálculo da taxa de poupança:
\text{poupança por segundo}=\Delta q\cdot 2\times 10^{-9}\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{s} =1549{,}243\cdot 2\times 10^{-9}\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{s} \approx 3{,}098486\times 10^{-6}\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{s}.ç
  • Tempo para recuperar 100\\ \mathrm{U\$} por 1\\ \mathrm{m}^2:
t=\frac{C_{\text{inst}}}{\text{poupança por segundo}} =\frac{100}{3{,}098486\times 10^{-6}}\\ \mathrm{s} \approx 32\,264\,150\\ \mathrm{s}.ç
Converter para anos (usando 1\\ \text{ano}\approx 365\\ \text{dias}=31\,536\,000\\ \mathrm{s}):
t\approx \frac{32\,264\,150}{31\,536\,000}\\ \text{anos}\approx 1{,}02\\ \text{anos}.
Ou em dias:
t\approx \frac{32\,264\,150}{86\,400}\\ \text{dias}\approx 373{,}4\\ \text{dias}.
Interpretação: com o preço muito baixo de energia fornecido ( 2\\ \mathrm{U\$}/\mathrm{GJ}), o investimento de 100\\ \mathrm{U\$} por metro quadrado é recuperado em pouco mais de 1 ano por metro quadrado, dado o fluxo de calor (grande) do forno.

Resposta

(a) Redução percentual do fluxo de calor \approx 28{,}25\%.
(b) Tempo de amortização \approx 1{,}02\\ \text{anos} (aprox. 373{,}4\\ \text{dias} por m ^2).

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