A empresa White Martins transporta nitrogênio comprimido em tanque cilíndrico de diâmetro de 0,25 m e comprimento de 1,3 m. O gás no tanque está a uma pressão absoluta de 20 Mpa e a uma temperatura de 20^circ C podendo se comportar como gás ideal. Sabendo disso, calcule a massa do gás contido no tanque e determine a espessura mínima teórica da parede do cilindro se a tensão máxima admissível na parede do tanque for 210 Mpa. Considere que a constante do nitrogênio é 296,8 J/(kg•K).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício da White Martins! A gente tem um tanque cilíndrico que transporta nitrogênio comprimido, com diâmetro de 0,25 m, comprimento de 1,3 m, pressão de 20 MPa e temperatura de 20°C. Vamos precisar usar a física dos gases ideais para calcular a massa do gás e a mecânica dos materiais para achar a espessura mínima da parede do tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do nitrogênio no tanque usando a equação dos gases ideais: $ pV = mRCT $. Para isso, precisamos encontrar o volume do cilindro.

Passo 3

O volume $ V $ de um cilindro é dado por $ V = \pi \times r^2 \times L $, onde $ r $ é o raio e $ L $ é o comprimento. O diâmetro é 0,25 m, então o raio $ r = \frac{0,25}{2} = 0,125 $ m. O comprimento $ L = 1,3 $ m. Calculando:
V

Passo 4

Agora, aplicamos a equação dos gases ideais para achar a massa $ m $:
m
Onde:
  • $ p = 20 \times 10^6 $ Pa (já que 1 MPa = m = pVRCT Pa)
  • $ R = 296,8 $ J/(kg·K)
  • $ T = 20°C = 293 $ K (convertendo para Kelvin)
Substituindo os valores:
p = 20 times 10^6

Passo 5

Agora, vamos determinar a espessura mínima da parede do tanque. Para isso, usamos a fórmula da tensão circunferencial (ou tensão de Hoop) para tanques cilíndricos:
sigma = p times rt
Queremos encontrar $ t $, então reorganizamos a equação:
t
Onde:
  • $ p = 20 \times 10^6 $ Pa
  • $ r = 0,125 $ m
  • $ \sigma = 210 \times 10^6 $ Pa
Substituindo os valores:
t = p times rsigma
Convertendo para milímetros:
p = 20 times 10^6

Resposta

A massa do nitrogênio no tanque é aproximadamente 4,79 kg e a espessura mínima teórica da parede do cilindro deve ser de 11,9 mm.

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