3-Um empresário dono de uma metalúrgica deseja estimar a proporção de peças defeituosas em uma de suas linhas de produção. Para isso, ele seleciona uma amostra aleatória simples de 144 peças dessa linha de produção, obtendo 45 defeituosas. Determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de peças defeituosas nessa linha de produção, a um nível de significância de 2 \%.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança para a proporção verdadeira de peças defeituosas em uma linha de produção, com nível de significância de 2\% (logo, nível de confiança de 98\%). Usaremos a aproximação normal para proporções, já que n=144 é grande.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{45}{144} = 0,3125.

Passo 3

Para nível de confiança de 98\%, o quantil crítico é
z_{1-\frac{\alpha}{2}} = z_{0,99} \approx 2,326.

Passo 4

O erro-padrão de \hat p é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,3125 \times 0,6875}{144}} \approx 0,03862.

Passo 5

O erro máximo (margem de erro) é
E = z_{0,99}\times \mathrm{SE} \approx 2,326 \times 0,03862 \approx 0,0898.

Passo 6

O intervalo de confiança a 98\% para a proporção verdadeira p é \hat p \pm E ou seja
0,3125 \pm 0,0898,
resultando em
[\,0,2227,\;0,4023\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 98\% para a proporção de peças defeituosas é
[\,0,2227,\;0,4023\,].

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