Resolva:
\begin{aligned}& u_{y}=x^{2}+y^{2}, \text { se }(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \\& u\left(x, x^{2}\right)=x+x^{2}, x \in \mathbb{R}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede uma função u(x,y) de duas variáveis satisfazendo
u_{y}(x,y)=x^{2}+y^{2}
em todo \mathbb{R}^{2}, junto com a condição de contorno no traço y=x^{2}:
u\bigl(x,x^{2}\bigr)=x+x^{2}.
O conteúdo é a integração de uma derivada parcial em relação a y e a aplicação de uma condição para determinar uma função “de integração” g(x).

Passo 2

Integramos a equação u_{y}(x,y)=x^{2}+y^{2} em relação a y, vendo x como constante:
u(x,y)=\int\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy + g(x) =x^{2}y+\tfrac{y^{3}}{3}+g(x),
onde g(x) é função arbitrária de x.

Passo 3

Usamos a condição u\bigl(x,x^{2}\bigr)=x+x^{2}. Substituindo y=x^{2} em
u(x,y)=x^{2}y+\tfrac{y^{3}}{3}+g(x)
obtemos
u\bigl(x,x^{2}\bigr) =x^{2}\cdot x^{2}+\frac{(x^{2})^{3}}{3}+g(x) =x^{4}+\frac{x^{6}}{3}+g(x)
que deve ser igual a x+x^{2}. Logo
g(x)=x+x^{2}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.

Passo 4

Substituindo g(x) de volta em u(x,y), a solução geral fica
u(x,y) =x^{2}y+\frac{y^{3}}{3} +\Bigl(x+x^{2}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}\Bigr).

Resposta

u(x,y)=x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}+x+x^{2}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.

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