Resolva:
\begin{aligned}& u_{y}=\operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right) \text { se } x>0, \quad y \in \mathbb{R} \\& u(x, 0)=x, x>0\end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma equação parcial
u_{y} = \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), \quad x>0,\;y\in\mathbb{R},
com condição de contorno
u(x,0) = x,\quad x>0.
O conteúdo aqui é resolver uma equação do tipo \partial u/\partial y = f(x,y) tratando x como parâmetro, e depois ajustar a constante de integração usando a condição inicial.

Passo 2

Como a derivada parcial de u em relação a y é dada por
\frac{\partial u}{\partial y} = \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
podemos integrar em y, mantendo x como constante. Escrevemos
u(x,y) = \int \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dy + A(x),
onde A(x) é a “constante” de integração, dependente apenas de x.

Passo 3

Para calcular a integral
\int \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dy,
fazemos a substituição t = \tfrac{y}{x}, de modo que dy = x\,dt. Assim
\int \sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dy = \int \sin(t)\,x\,dt = -\,x\cos(t) + C = -\,x\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + C.
Portanto
u(x,y) = -\,x\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + A(x).

Passo 4

Usamos a condição u(x,0)=x. Substituindo y=0 na expressão geral:
u(x,0) = -\,x\cos(0) + A(x) = -\,x\cdot 1 + A(x) = -\,x + A(x).
Mas sabemos que isso deve ser igual a x. Logo
-\,x + A(x) = x \quad\Longrightarrow\quad A(x) = 2x.

Passo 5

Substituindo A(x)=2x em u(x,y), obtemos
u(x,y) = -\,x\cos\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + 2x = x\bigl(2 - \cos\!\tfrac{y}{x}\bigr).

Resposta

u(x,y) = x\bigl(2 - \cos\tfrac{y}{x}\bigr),\quad x>0,\;y\in\mathbb{R}.

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