Emprestei R \ 30.000,00 a um amigo que me prometeu pagá-los depois de 180 dias com juros simples deá12 % ao mês. Na data em que devia saldar a dívida, procurou-me para pedir mais R\êí 20.000,00 emprestados, propondo-se a pagá-los, juntamente com o montante anterior com juros de 15 \% ao mês após 60 dias, o que realmente cumpriu. Quanto me pagou? R.: R$ 93.080,00.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
  • Valor emprestado inicialmente: \text{R\$ }30.000,00.
  • Taxa para esse empréstimo: 12\% ao mês.
  • Prazo inicial: 180 dias (data em que deveria saldar a dívida).
  • Na data em que devia pagar, a pessoa pediu mais \text{R\$ }20.000,00 emprestados.
  • A proposta aceita foi: pagar, após 60 dias, tanto o montante da dívida anterior quanto os \text{R\$ }20.000,00, com taxa de 15\% ao mês, o que efetivamente aconteceu.
  • Pergunta: quanto ele me pagou ao final (valor total recebido)?

Passo 2

Primeiro vamos padronizar unidades de tempo porque as taxas estão dadas por mês e os prazos em dias. Adotamos a convenção usual em questões financeiras elementares: 30 dias = 1 mês. Portanto:
180\\ \text{dias} = 6\\ \text{meses},\qquad 60\\ \text{dias} = 2\\ \text{meses}.
Agora, a fórmula básica de juros simples que vamos usar é:
J = P \cdot i \cdot n,
onde:
  • J é o valor dos juros,
  • P é o principal (o valor emprestado),
  • i é a taxa de juros por período (aqui por mês), escrita em forma decimal,
  • n é o número de períodos (meses, neste caso).
    O montante (valor a pagar ao final do período) é
M = P + J = P(1 + i n).

Passo 3

Calcular o montante devido da primeira operação ( \text{R\$ }30.000,00) ao fim de 180 dias ( 6 meses) com juros de 12\% ao mês.
Identificamos:
P = \text{R\$ }30.000,00,\quad i = 12\% = 0{,}12,\quad n = 6.
Calculamos os juros:
J = P\cdot i \cdot n = \text{R\$ }30.000,00 \cdot 0{,}12 \cdot 6.
Fazendo as contas passo a passo:
\text{R\$}30.000,00 \cdot 0{,}12 = \text{R\$ }3.600,00,
\text{R\$}3.600,00 \cdot 6 = \text{R\$ }21.600,00.
Logo os juros acumulados são \text{R\$ }21.600,00 e o montante nessa data é
M_{1} = \text{R\$}30.000,00 + \text{R\$ }21.600,00 = \text{R\$ }51.600,00.

Passo 4

Na data do vencimento (quando apareceu pedindo mais dinheiro), ficou combinado que, após 60 dias ( 2 meses), ele pagaria tanto o montante \text{R\$}51.600,00 quanto os novos \text{R\$ }20.000,00, ambos acrescidos de juros simples de 15\% ao mês por 2 meses. Vamos tratar separadamente cada parte porque em juros simples os juros são calculados sobre o principal de cada operação.
Para a parte já acumulada M_{1}=\text{R\$ }51.600,00 (este será tratado como novo “principal” para os 60 dias):
P' = \text{R\$ }51.600,00,\quad i' = 15\% = 0{,}15,\quad n' = 2.
Juros sobre P':
J_{1} = P'\cdot i' \cdot n' = \text{R\$ }51.600,00 \cdot 0{,}15 \cdot 2.
Calculemos:
\text{R\$}51.600,00 \cdot 0{,}15 = \text{R\$ }7.740,00,
\text{R\$}7.740,00 \cdot 2 = \text{R\$ }15.480,00.
Montante dessa parcela ao pagamento:
M_{1,após} = \text{R\$}51.600,00 + \text{R\$ }15.480,00 = \text{R\$ }67.080,00.ó

Passo 5

Agora a segunda parte: os novos \text{R\$ }20.000,00 tomados na data do vencimento, também com i' = 0{,}15 e n' = 2.
Identificamos:
P'' = \text{R\$ }20.000,00,\quad i' = 0{,}15,\quad n' = 2.
Juros:
J_{2} = P''\cdot i' \cdot n' = \text{R\$ }20.000,00 \cdot 0{,}15 \cdot 2.
Cálculo:
\text{R\$}20.000,00 \cdot 0{,}15 = \text{R\$ }3.000,00,
\text{R\$}3.000,00 \cdot 2 = \text{R\$ }6.000,00.
Montante dessa parcela ao pagamento:
M_{2,após} = \text{R\$}20.000,00 + \text{R\$ }6.000,00 = \text{R\$ }26.000,00.ó

Passo 6

Finalmente somamos os dois montantes que ele pagou ao final dos 60 dias:
\text{Total pago} = M_{1,após} + M_{2,após} = \text{R\$}67.080,00 + \text{R\$ }26.000,00.óó
Somando:
\text{Total pago} = \text{R\$ }93.080,00.

Resposta

\text{R\$ }93.080,00

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