Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em três parcelas mensais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi de 10% a.m. Determine os juros bem como a amortização usando os sistemas FRANCÊS (SF), DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA), seguindo os esquemas abaixo:
SAC
PERÍODO
SAQUE
SALDO INICIAL
PAGAMENTO
SALDO FINAL
Juros
Amortização
Total
0
1
2
3
SAC
| PERÍODO | SAQUE | SALDO INICIAL | PAGAMENTO | SALDO FINAL | ||
| Juros | Amortização | Total | ||||
| 0 | ||||||
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo de
que será pago em
parcelas mensais; a taxa de juros é
ao mês. A primeira parcela vence 30 dias após o saque. O que se pede: determinar os juros e as amortizações (ou seja, preencher as colunas Juros, Amortização e Total de pagamento, junto com os saldos) para os três sistemas de amortização:
- Sistema de Amortização Constante (SAC);
- Sistema Francês (SF) — prestações constantes;
- Sistema Americano (SA) — juros periódicos e amortização do principal ao final.
Informações relevantes fornecidas:
- Montante emprestado (saque):
. - Número de parcelas:
. - Taxa mensal:
. - Pagamentos mensais: 1º pagamento em 30 dias, depois a cada 30 dias (ou seja, parcelas mensais).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo e variáveis):
- Saldo inicial no período
: saldo antes de pagar a parcela do período . - Juros do período
: , onde é o saldo inicial do período . - Amortização do período
: valor do pagamento que efetivamente reduz o principal. - Pagamento total do período
: , sendo a amortização do período . - Saldo final após o pagamento do período
: .
Iremos aplicar essas relações para cada sistema, explicando como cada sistema define
ou
.
Passo 3
No SAC a amortização é constante em cada período e igual a
.
Calcule a amortização constante:
Agora aplicamos as fórmulas período a período. Vou mostrar o raciocínio para cada período (sem arredondamentos prematuros, depois arredondamos centavos quando apropriado).
Período 0 (imediatamente após o saque):
- Saque:
. - Saldo inicial
. - Sem pagamento no período 0.
Período 1:
- Juros
- Amortização
- Pagamento total
- Saldo final
Período 2:
- Juros
- Amortização
- Pagamento total
- Saldo final
Período 3:
- Juros
- Amortização
- Pagamento total
- Saldo final
Comentários didáticos: no SAC a parcela total decresce ao longo do tempo porque os juros caem conforme o saldo diminui, já que a amortização é fixa.
Passo 4
No SF a prestação
é constante. A fórmula da prestação para um empréstimo com pagamento postecipado (anuidades) é:
onde
é o principal,
a taxa por período e
o número de períodos.
Calculemos passo a passo com
,
,
.
Primeiro calcule
:
Agora aplique a fórmula:
Multiplicando:
Efetuando a divisão obtém-se o valor numérico (arredondado para centavos, como se faz em contratos):
Agora determinamos juros, amortizações e saldos período a período usando
(arredondado para centavos; arredondamos juros e amortizações a centavos também, ajustando o último saldo para zerar por efeito de arredondamento).
Período 0:
- Saque e saldo inicial
.
Período 1:
- Juros
- Amortização
- Saldo final
Período 2:
- Juros
(arredondando para centavos). - Amortização
- Saldo final
Período 3:
- Juros
(arredondando). - Amortização
- Saldo final
Comentários didáticos: no SF a prestação
é constante; a cada período a parcela de juros decresce (porque o saldo diminui) e a parcela de amortização aumenta, mantendo
fixo.
Passo 5
No SA paga-se apenas os juros em cada período intermediário e o principal é amortizado integralmente no último vencimento. Assim:
- Para
: - No último período
:
Aplicando com
e
:
- Juros periódicos (cada período até o penúltimo):
- Pagamento final (período 3):
Detalhando períodos:
Período 0: saque , saldo
.
Período 1: juros , amortização
, pagamento
, saldo final
.
Período 2: mesma coisa que período 1.
Período 3: juros , amortização
, pagamento
, saldo final
.
Período 0: saque
Período 1: juros
Período 2: mesma coisa que período 1.
Período 3: juros
Resposta
SAC
Período 0: Saque = ; Saldo Inicial =
.
Período 1: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 2: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 3: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 0: Saque =
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =
SF (Francês, prestações constantes)
Período 0: Saque = ; Saldo Inicial =
.
Prestação constante .
Período 1: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 2: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 3: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 0: Saque =
Prestação constante
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =
SA (Americano)
Período 0: Saque = ; Saldo Inicial =
.
Período 1: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 2: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 3: Juros = ; Amortização =
; Total =
; Saldo Final =
.
Período 0: Saque =
Período 1: Juros =
Período 2: Juros =
Período 3: Juros =