Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em três parcelas mensais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi de 10% a.m. Determine os juros bem como a amortização usando os sistemas FRANCÊS (SF), DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA), seguindo os esquemas abaixo:
SAC
PERÍODO SAQUE SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL
Juros Amortização Total
0
1
2
3

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de \text{R\$ }21.000{,}00 que será pago em n=3 parcelas mensais; a taxa de juros é i=10\% ao mês. A primeira parcela vence 30 dias após o saque. O que se pede: determinar os juros e as amortizações (ou seja, preencher as colunas Juros, Amortização e Total de pagamento, junto com os saldos) para os três sistemas de amortização:
  • Sistema de Amortização Constante (SAC);
  • Sistema Francês (SF) — prestações constantes;
  • Sistema Americano (SA) — juros periódicos e amortização do principal ao final.
Informações relevantes fornecidas:
  • Montante emprestado (saque): \displaystyle L=\text{R\$ }21.000{,}00.
  • Número de parcelas: \displaystyle n=3.
  • Taxa mensal: \displaystyle i=10\%=0{,}10.
  • Pagamentos mensais: 1º pagamento em 30 dias, depois a cada 30 dias (ou seja, parcelas mensais).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo e variáveis):
  • Saldo inicial no período k: saldo antes de pagar a parcela do período k.
  • Juros do período k: \displaystyle J_k = i\cdot S_{k-1}, onde S_{k-1} é o saldo inicial do período k.
  • Amortização do período k: valor do pagamento que efetivamente reduz o principal.
  • Pagamento total do período k: \displaystyle P_k = J_k + A_k, sendo A_k a amortização do período k.
  • Saldo final após o pagamento do período k: \displaystyle S_k = S_{k-1} - A_k.
Iremos aplicar essas relações para cada sistema, explicando como cada sistema define A_k ou P_k.

Passo 3

No SAC a amortização é constante em cada período e igual a \displaystyle A=\dfrac{L}{n}.
Calcule a amortização constante:
A=\dfrac{L}{n}=\dfrac{\text{R\$}21.000{,}00}{3}=\text{R\$ }7.000{,}00.
Agora aplicamos as fórmulas período a período. Vou mostrar o raciocínio para cada período (sem arredondamentos prematuros, depois arredondamos centavos quando apropriado).
Período 0 (imediatamente após o saque):
  • Saque: \text{R\$ }21.000{,}00.
  • Saldo inicial S_0=\text{R\$ }21.000{,}00.
  • Sem pagamento no período 0.
Período 1:
  • Juros J_1=i\cdot S_0=0{,}10\cdot\text{R\$}21.000{,}00=\text{R\$ }2.100{,}00.
  • Amortização A_1=A=\text{R\$ }7.000{,}00.
  • Pagamento total P_1=J_1+A_1=\text{R\$}2.100{,}00+\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }9.100{,}00.
  • Saldo final S_1=S_0-A_1=\text{R\$}21.000{,}00-\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }14.000{,}00.
Período 2:
  • Juros J_2=0{,}10\cdot S_1=0{,}10\cdot\text{R\$}14.000{,}00=\text{R\$ }1.400{,}00.
  • Amortização A_2=\text{R\$ }7.000{,}00.
  • Pagamento total P_2=\text{R\$}1.400{,}00+\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }8.400{,}00.
  • Saldo final S_2=\text{R\$}14.000{,}00-\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }7.000{,}00.
Período 3:
  • Juros J_3=0{,}10\cdot S_2=0{,}10\cdot\text{R\$}7.000{,}00=\text{R\$ }700{,}00.
  • Amortização A_3=\text{R\$ }7.000{,}00.
  • Pagamento total P_3=\text{R\$}700{,}00+\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }7.700{,}00.
  • Saldo final S_3=\text{R\$}7.000{,}00-\text{R\$ }7.000{,}00=\text{R\$ }0{,}00.
Comentários didáticos: no SAC a parcela total decresce ao longo do tempo porque os juros caem conforme o saldo diminui, já que a amortização é fixa.

Passo 4

No SF a prestação P é constante. A fórmula da prestação para um empréstimo com pagamento postecipado (anuidades) é:
P = L\cdot \dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}
onde L é o principal, i a taxa por período e n o número de períodos.
Calculemos passo a passo com L=\text{R\$ }21.000{,}00, i=0{,}10, n=3.
Primeiro calcule (1+i)^n:
(1+i)^n=(1{,}1)^3=1{,}331.
Agora aplique a fórmula:
P= \text{R\$ }21.000{,}00\cdot \dfrac{0{,}10\cdot 1{,}331}{1{,}331-1} = \text{R\$ }21.000{,}00\cdot \dfrac{0{,}1331}{0{,}331}.
Multiplicando:
P=\dfrac{\text{R\$ }21.000{,}00\cdot 0{,}1331}{0{,}331} =\dfrac{\text{R\$ }2.795{,}10}{0{,}331} =\text{R\$ }\dfrac{2.795{,}100}{0{,}331}.
Efetuando a divisão obtém-se o valor numérico (arredondado para centavos, como se faz em contratos):
P\approx\text{R\$ }8.444{,}41.
Agora determinamos juros, amortizações e saldos período a período usando P=\text{R\$ }8.444{,}41 (arredondado para centavos; arredondamos juros e amortizações a centavos também, ajustando o último saldo para zerar por efeito de arredondamento).
Período 0:
  • Saque e saldo inicial S_0=\text{R\$ }21.000{,}00.
Período 1:
  • Juros J_1=0{,}10\cdot S_0=0{,}10\cdot\text{R\$}21.000{,}00=\text{R\$ }2.100{,}00.
  • Amortização A_1=P-J_1=\text{R\$}8.444{,}41-\text{R\$ }2.100{,}00=\text{R\$ }6.344{,}41.
  • Saldo final S_1=S_0-A_1=\text{R\$}21.000{,}00-\text{R\$ }6.344{,}41=\text{R\$ }14.655{,}59.
Período 2:
  • Juros J_2=0{,}10\cdot S_1=0{,}10\cdot\text{R\$}14.655{,}59=\text{R\$ }1.465{,}56 (arredondando para centavos).
  • Amortização A_2=P-J_2=\text{R\$}8.444{,}41-\text{R\$ }1.465{,}56=\text{R\$ }6.978{,}85.
  • Saldo final S_2=S_1-A_2=\text{R\$}14.655{,}59-\text{R\$ }6.978{,}85=\text{R\$ }7.676{,}74.
Período 3:
  • Juros J_3=0{,}10\cdot S_2=0{,}10\cdot\text{R\$}7.676{,}74=\text{R\$ }767{,}67 (arredondando).
  • Amortização A_3=P-J_3=\text{R\$}8.444{,}41-\text{R\$ }767{,}67=\text{R\$ }7.676{,}74.
  • Saldo final S_3=S_2-A_3=\text{R\$}7.676{,}74-\text{R\$ }7.676{,}74=\text{R\$ }0{,}00.
Comentários didáticos: no SF a prestação P é constante; a cada período a parcela de juros decresce (porque o saldo diminui) e a parcela de amortização aumenta, mantendo P fixo.

Passo 5

No SA paga-se apenas os juros em cada período intermediário e o principal é amortizado integralmente no último vencimento. Assim:
  • Para k=1,2,\dots,n-1: P_k = J_k = i\cdot L.
  • No último período n: P_n = J_n + L = i\cdot L + L = L(1+i).
Aplicando com L=\text{R\$ }21.000{,}00 e i=0{,}10:
  • Juros periódicos (cada período até o penúltimo): i\cdot L=0{,}10\cdot\text{R\$}21.000{,}00=\text{R\$ }2.100{,}00.
  • Pagamento final (período 3): P_3=\text{R\$}2.100{,}00+\text{R\$ }21.000{,}00=\text{R\$ }23.100{,}00.
Detalhando períodos:
Período 0: saque \text{R\$}21.000{,}00, saldo S_0=\text{R\$ }21.000{,}00.
Período 1: juros \text{R\$}2.100{,}00, amortização \text{R\$ }0{,}00, pagamento \text{R\$}2.100{,}00, saldo final S_1=\text{R\$ }21.000{,}00.
Período 2: mesma coisa que período 1.
Período 3: juros \text{R\$}2.100{,}00, amortização \text{R\$ }21.000{,}00, pagamento \text{R\$}23.100{,}00, saldo final S_3=\text{R\$ }0{,}00.

Resposta

SAC
Período 0: Saque = \text{R\$}21.000{,}00; Saldo Inicial = \text{R\$ }21.000{,}00.
Período 1: Juros = \text{R\$}2.100{,}00; Amortização = \text{R\$ }7.000{,}00; Total = \text{R\$}9.100{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }14.000{,}00.
Período 2: Juros = \text{R\$}1.400{,}00; Amortização = \text{R\$ }7.000{,}00; Total = \text{R\$}8.400{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }7.000{,}00.
Período 3: Juros = \text{R\$}700{,}00; Amortização = \text{R\$ }7.000{,}00; Total = \text{R\$}7.700{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }0{,}00.
SF (Francês, prestações constantes)
Período 0: Saque = \text{R\$}21.000{,}00; Saldo Inicial = \text{R\$ }21.000{,}00.
Prestação constante P\approx\text{R\$ }8.444{,}41.
Período 1: Juros = \text{R\$}2.100{,}00; Amortização = \text{R\$ }6.344{,}41; Total = \text{R\$}8.444{,}41; Saldo Final = \text{R\$ }14.655{,}59.
Período 2: Juros = \text{R\$}1.465{,}56; Amortização = \text{R\$ }6.978{,}85; Total = \text{R\$}8.444{,}41; Saldo Final = \text{R\$ }7.676{,}74.
Período 3: Juros = \text{R\$}767{,}67; Amortização = \text{R\$ }7.676{,}74; Total = \text{R\$}8.444{,}41; Saldo Final = \text{R\$ }0{,}00.
SA (Americano)
Período 0: Saque = \text{R\$}21.000{,}00; Saldo Inicial = \text{R\$ }21.000{,}00.
Período 1: Juros = \text{R\$}2.100{,}00; Amortização = \text{R\$ }0{,}00; Total = \text{R\$}2.100{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }21.000{,}00.
Período 2: Juros = \text{R\$}2.100{,}00; Amortização = \text{R\$ }0{,}00; Total = \text{R\$}2.100{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }21.000{,}00.
Período 3: Juros = \text{R\$}2.100{,}00; Amortização = \text{R\$ }21.000{,}00; Total = \text{R\$}23.100{,}00; Saldo Final = \text{R\$ }0{,}00.

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