Quanto terá no final do 13^{\circ} mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 2.000,00 cada uma, à taxa de 3% ao més, sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje?

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e o que vamos usar. Temos uma série de n=13 aplicações mensais iguais de R = 2000 reais, à taxa de i=3\% ao mês, com a primeira aplicação acontecendo hoje (mês zero). Queremos o valor acumulado (futuro) ao final do 13º mês, isto é, no instante t=13. Como o pagamento é feito no início de cada período, trata-se de uma anuidade antecipada.

Passo 2

Para uma anuidade antecipada, cada parcela R rende juros pelo número de períodos que resta até o fim. Em particular, a parcela feita em t=0 rende juros por 13 meses, a de t=1 rende por 12 meses, e assim por diante, até a parcela em t=12 que rende por 1 mês. O valor futuro S é
S = R\bigl(1+i\bigr)^{13} + R\bigl(1+i\bigr)^{12} + \cdots + R\bigl(1+i\bigr)^{1}\,.

Passo 3

Reconhecemos uma soma geométrica de razão (1+i) e n=13 termos. A fórmula resumida para o valor futuro de uma anuidade antecipada é
S = R \,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\,(1+i).
Aqui \dfrac{(1+i)^{n}-1}{i} é o futuro de uma anuidade postecipada e multiplicamos por (1+i) para converter em antecipada.

Passo 4

Substituindo R=2000, i=0{,}03 e n=13 na fórmula:
S = 2000 \,\frac{(1{,}03)^{13}-1}{0{,}03}\;(1{,}03).

Passo 5

Calculando numericamente:
1. Primeiro (1{,}03)^{13}\approx1{,}4683.
2. Então \dfrac{1{,}4683-1}{0{,}03}\approx15{,}6103.
3. Multiplicando por 1{,}03 15{,}6103\times1{,}03\approx16{,}0786.
4. Finalmente S\approx2000\times16{,}0786\approx32\,157{,}20.

Resposta

Ao final do 13ª\ mês a pessoa terá aproximadamente R$ 32157,20.

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