Em quantas prestações trimestrais de \ 8.000,00 poderei liquidar uma dívida deí$60.848,64 , à taxa deà10 %$ ao trimestre, sabendo que as prestaçōes são pagas no final de cada trimestrẹ? Resposta: 15 prestações.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma dívida com valor presente de \$60.848,64 que será quitada por meio de prestações trimestrais constantes de \$8.000,00, pagas ao final de cada trimestre, à taxa de 10\% ao trimestre. O conteúdo necessário é o valor presente de uma anuidade imediata, cuja fórmula é
PV \;=\; R \;\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}
onde PV é o valor presente, R é o valor da prestação, i é a taxa por período e n é o número de prestações.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nosso caso, identificamos
PV = 60.848,64, \quad R = 8.000, \quad i = 0,1,
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60.848,64 \;=\; 8.000 \;\frac{1 - (1{,}1)^{-n}}{0,1}.

Passo 3

Isolamos a parte exponencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 0,1/8.000:
\frac{60.848,64 \times 0,1}{8.000} \;=\; 1 - (1{,}1)^{-n}.
Calculando a fração:
\frac{60.848,64 \times 0,1}{8.000} = 0,760608.
Então
(1{,}1)^{-n} = 1 - 0,760608 = 0,239392.

Passo 4

Para eliminar o expoente, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\bigl((1{,}1)^{-n}\bigr) = \ln(0,239392) \;\Longrightarrow\; -n\,\ln(1{,}1) = \ln(0,239392).

Passo 5

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n = -\frac{\ln(0,239392)}{\ln(1{,}1)}.
Calculando numericamente:
\ln(0,239392)\approx -1,4294, \quad \ln(1{,}1)\approx 0,09531,
n \approx -\frac{-1,4294}{0,09531}\approx 15.

Resposta

São necessárias 15 prestações.

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