Um empréstimo de \mathrm{R} \ 800.000,00 deve ser devolvido, em 10 prestações semestrais à taxa deçõà10,25 %$ ao ano, obtenha a planilha, pelos seguintes sistemas. Calcule o valor da primeira parcela e da última para os sistemas:
a) Price

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Valor do empréstimo (valor presente): \mathrm{R}\$800.000,00.
  • Número de prestações semestrais: 10.
  • Taxa informada: 10{,}25\% ao ano. As prestações são semestrais, então precisamos usar a taxa por semestre.
  • Pergunta: calcular o valor da primeira parcela e da última parcela para o sistema Price (ou sistema de prestações constantes).

Passo 2

Entendendo o que é pedido (sem resolver ainda): no sistema Price as parcelas são iguais ao longo de todo o prazo; ou seja, a “parcela” (o pagamento periódico) tem valor constante A. O que vamos calcular é esse A. Para isso usamos a fórmula da anuidade (prestações vencidas, prestação constante) que transforma um valor presente PV em uma sequência de n pagamentos A. A fórmula que usamos é a seguinte:
A = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Nesta fórmula:
  • PV é o valor do empréstimo (a dívida inicial), aqui PV=\mathrm{R}\$800.000{,}00.
  • i é a taxa de juros por período (no nosso caso, por semestre), expressa em decimal (por exemplo, 5{,}125\% = 0{,}05125).
  • n é o número de prestações (aqui n=10).
Vou detalhar como obter i e cada termo da fórmula para você conseguir aplicar isso na prova.

Passo 3

Converter a taxa anual para taxa por semestre: o enunciado deu 10{,}25\% ao ano e as prestações são semestrais. Tomamos a hipótese natural (usada em exercícios padrão) de que a taxa nominal anual é dividida igualmente entre os dois semestres, ou seja:
i=\frac{10{,}25\%}{2}=\frac{0{,}1025}{2}=0{,}05125.
Portanto a taxa por semestre é i=0{,}05125 (ou 5{,}125\% por semestre). Lembre-se: para usar nas fórmulas devemos colocar em decimal, como fizemos.

Passo 4

Calcular (1+i)^n — eu mostro o cálculo passo a passo para você saber fazer manualmente sem calculadora científica (faça multiplicações sucessivas):
1+i = 1{,}05125.
Agora multiplicamos sucessivamente até a décima potência:
\begin{aligned} (1+i)^2 &= 1{,}05125^2 \approx 1{,}1051265625,\\\ (1+i)^3 &= 1{,}05125^3 \approx 1{,}161764298828125,\\\ (1+i)^4 &\approx 1{,}2213047191430664,\\\ (1+i)^5 &\approx 1{,}2838965859991486,\\\ (1+i)^6 &\approx 1{,}349696286031605,\\\ (1+i)^7 &\approx 1{,}4188682206907248,\\\ (1+i)^8 &\approx 1{,}4915852170011245,\\\ (1+i)^9 &\approx 1{,}5680289593724322,\\\ (1+i)^{10} &\approx 1{,}6483904435402693. \end{aligned}
Esses números foram obtidos multiplicando 1{,}05125 por si mesmo passo a passo; na prova você pode fazer isso com calculadora básica ou com cuidado em papel. Portanto usamos
(1+i)^{10} \approx 1{,}6483904435402693.

Passo 5

Substituir na fórmula de A. Vou usar uma forma algébrica que evita perda numérica: escrever
A = PV\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Calculemos cada parte:
(1+i)^n - 1 \approx 1{,}6483904435402693 - 1 = 0{,}6483904435402693.
Multiplicando i por (1+i)^n:
i(1+i)^n = 0{,}05125 \times 1{,}6483904435402693 \approx 0{,}0844800102314388.
Agora o quociente (o fator que multiplica PV) é
\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1} \approx \frac{0{,}0844800102314388}{0{,}6483904435402693}\approx 0{,}13029188.
Finalmente,
A = PV \times 0{,}13029188 \approx 800.000 \times 0{,}13029188 = 104.233{,}504.
Arredondando para centavos (moeda) temos a parcela constante
A \approx \mathrm{R}\$104.233{,}50.

Passo 6

Interpretação e confirmação intuitiva (útil na prova): no sistema Price todas as parcelas são iguais, portanto a primeira parcela e a última parcela têm o mesmo valor A. Se você quiser confirmar partes da planilha (amortização e juros) para aprendizado rápido:
  • Juros da primeira parcela = PV\times i = 800.000\times 0{,}05125 = \mathrm{R}\$41.000{,}00.
  • Amortização da primeira parcela = A - \text{juros}_1 \approx 104.233{,}50 - 41.000{,}00 = \mathrm{R}\$63.233{,}50.
  • Antes da última parcela (após 9 pagamentos) o saldo devedor é exatamente igual à amortização da última parcela; para sistema Price há fórmulas rápidas que mostram que a última amortização é A/(1+i) e o juro da última parcela é A\cdot \dfrac{i}{1+i}. Usando A calculado obtém-se, se quiser conferir, juros da última parcela aproximadamente \mathrm{R}\$5.081{,}38 e amortização da última parcela aproximadamente \mathrm{R}\$99.152{,}12; somando dá a parcela A.
Você já tem então a parcela constante e entende como montar a planilha linha a linha (saldo anterior, juro = saldo anterior \times i, amortização = parcela - juro, novo saldo = saldo anterior - amortização).

Resposta

Primeira parcela: \mathrm{R}\$104.233,50
Última parcela: \mathrm{R}\$104.233,50

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