Verificar se os seguintes limites existem, caso afirmativo qual é o valor.
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}}\frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}}.
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para verificar existência, vamos usar coordenadas polares e investigar se o valor final depende do ângulo de aproximação.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo. Substituindo no numerador e denominador:
Numerador
y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3} = r^{4}\bigl(\sin^{4}\theta +3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta +2\cos^{3}\theta\sin\theta\bigr),
Denominador
(y^{2}+x^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}.

Passo 3

O quociente fica
\frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} =\frac{r^{4}\bigl(\sin^{4}\theta +3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta +2\cos^{3}\theta\sin\theta\bigr)}{r^{4}} =\sin^{4}\theta +3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta +2\cos^{3}\theta\sin\theta.
Note que o resultado não depende de r, mas sim de \theta.

Passo 4

Para ver se há dependência de \theta, calculemos em dois caminhos:
  1. \theta=0 (eixo x):
\sin0=0,\\ \cos0=1 \quad\Longrightarrow\quad f(0)=0^{4}+3\cdot1^{2}\cdot0^{2}+2\cdot1^{3}\cdot0=0.
  1. \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y):
\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\\ \cos\tfrac{\pi}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1^{4}+3\cdot0^{2}\cdot1^{2}+2\cdot0^{3}\cdot1=1.
Como obtemos valores diferentes (0 e 1) ao mudar o ângulo, o limite depende do caminho.

Passo 5

Quando o valor do limite depende da direção \theta, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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