Verificar se os seguintes limites existem, caso afirmativo qual é o valor.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para verificar existência, vamos usar coordenadas polares e investigar se o valor final depende do ângulo de aproximação.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
onde
e
é o ângulo. Substituindo no numerador e denominador:
Numerador
Numerador
Denominador
Passo 3
O quociente fica
Note que o resultado não depende de
, mas sim de
.
Passo 4
Para ver se há dependência de
, calculemos em dois caminhos:
-
(eixo ):
-
(eixo ):
Como obtemos valores diferentes (0 e 1) ao mudar o ângulo, o limite depende do caminho.
Passo 5
Quando o valor do limite depende da direção
, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.