Um tubo de ar horizontal tem uma redução na sua area de seção transversal de 0,75 \mathrm{ft}^{2} para 0,2 \mathrm{ft}^{2}.
Assumindo que não há perdas, qual será a diferença de pressão quando escoa 1,5lb/s de ar? Utilize rho =0,21 b / \mathrm{ft}^{3}.
Avalie o efeito do escoamento de 0,5 a 21 \mathrm{~b} / \mathrm{s} do ar, sobre avariação da pressão entre A e B, elabore um gráfico escoamento vs diferença de pressão.|

Passo 1

O enunciado dá um tubo de ar horizontal com dois trechos de áreas de seção transversal A_1 = 0,75\\ \mathrm{ft}^2 (trecho amont e) e A_2 = 0,20\\ \mathrm{ft}^2 (trecho jusante), sem perda de carga, e pede a diferença de pressão \Delta p = p_1 - p_2 quando escoa 1{,}5\\ \mathrm{lb}/\mathrm{s}. Vamos usar a equação da continuidade (para fluido incompressível) para achar as velocidades e a equação de Bernoulli (sem atrito) para \Delta p.

Passo 2

Pela continuidade a vazão mássica \dot m relaciona-se com velocidade v, densidade \rho e área A por
\dot m = \rho\,A\,v.
Logo,
v_1 = \frac{\dot m}{\rho\,A_1}, \quad v_2 = \frac{\dot m}{\rho\,A_2}.
Substituindo \dot m=1{,}5\\ \mathrm{lb}/\mathrm{s} e \rho=0{,}21\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^3,
v_1 = \frac{1{,}5}{0{,}21\cdot0{,}75}\approx 9{,}52\\ \mathrm{ft/s}, \quad v_2 = \frac{1{,}5}{0{,}21\cdot0{,}20}\approx 35{,}71\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 3

Pela equação simplificada de Bernoulli (horizontal, sem atrito):
p_1 + \tfrac12\,\rho\,v_1^2 = p_2 + \tfrac12\,\rho\,v_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \Delta p = p_1 - p_2 = \tfrac12\,\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr).
Logo,
\Delta p = \tfrac12\,(0{,}21)\bigl(35{,}71^2 - 9{,}52^2\bigr) \approx 124{,}4\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^2.
Convertendo para psi ( 1\\ \mathrm{psi}=144\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^2),
\Delta p \approx \frac{124{,}4}{144}\approx 0{,}864\\ \mathrm{psi}.

Passo 4

Para estudar o efeito de \dot m variando de 0{,}5 a 2{,}0\\ \mathrm{lb}/\mathrm{s}, note que
\Delta p(\dot m) = \tfrac12\,\rho \Bigl[\bigl(\tfrac{\dot m}{\rho A_2}\bigr)^2 -\bigl(\tfrac{\dot m}{\rho A_1}\bigr)^2\Bigr] = K\,\dot m^2,
onde
K = \tfrac12\,\rho \Bigl(\frac{1}{(\rho A_2)^2}-\frac{1}{(\rho A_1)^2}\Bigr) \approx 55{,}28\\ \frac{\mathrm{lb}/\mathrm{ft}^2}{(\mathrm{lb}/\mathrm{s})^2}.
Assim, calculamos alguns pontos:
\begin{array}{c|cccc} \dot m\;(\mathrm{lb/s}) & 0{,}5 & 1{,}0 & 1{,}5 & 2{,}0\\hline \Delta p\;(\mathrm{lb/ft}^2) & 13{,}8 & 55{,}3 & 124{,}4 & 221{,}1 \end{array}
e em psi:
\Delta p\;(\mathrm{psi})\approx \{0{,}096,\;0{,}384,\;0{,}864,\;1{,}535\}.
O gráfico de \Delta p versus \dot m é, portanto, uma parábola crescente que passa por esses pontos, mostrando que a diferença de pressão cresce com o quadrado da vazão mássica.

Resposta

Para \dot m=1{,}5\\ \mathrm{lb/s},
\Delta p = 124{,}4\\ \mathrm{lb}/\mathrm{ft}^2 \approx 0{,}864\\ \mathrm{psi}.
A relação geral é
\Delta p = 55{,}28\,\dot m^2 (em \mathrm{lb/ft}^2),
de modo que no intervalo \dot m=0{,}5 2{,}0\\ \mathrm{lb/s} a diferença de pressão cresce quadraticamente, conforme os valores tabulados acima.

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