e) \quad \frac{1}{2} \rho g x^{2}
53. Em um sistema de abastecimento por gravidade, a água escoa por um tubo horizontal de raio interno \mathrm{r}_{1}=2,0 \mathrm{~cm}. Em seguida, a tubulação sobe até uma altura de \mathrm{h}=3,0 \mathrm{~m} e se conecta a outro trecho horizontal, mais largo, de raio interno
r_{2}=4,0 \mathrm{~cm}. Sensores indicam que a pressão nos dois trechos horizontais é a mesma. Admita escoamento ideal e permanente, com \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine a vazão volumétrica Q no sistema.
a) Q=1,6 \pi \mathrm{~L} / \mathrm{s}
b) Q=3,2 \pi \mathrm{~L} / \mathrm{s}
c) Q=6,4 \pi \mathrm{~L} / \mathrm{s}
d) Q=12,0 \mathrm{~L} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas em SI):
  • raio do trecho estreito: r_{1}=0,02\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado, que deu 2{,}0\\ \mathrm{cm});
  • raio do trecho largo: r_{2}=0,04\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado, que deu 4{,}0\\ \mathrm{cm});
  • diferença de altura entre os trechos horizontais: h=3{,}0\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • a pressão medida nos dois trechos horizontais é a mesma (informação do enunciado);
  • escoamento ideal e permanente (informação do enunciado);
  • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (informação do enunciado).
O que é pedido:
  • determinar a vazão volumétrica Q do sistema (ver alternativas fornecidas).

Passo 2

Continuidade (conservação de massa para escoamento incompressível):
  • Definição: a vazão volumétrica é Q = A v, onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média do fluido nessa seção. Aqui o fluido é água incompressível, então Q é constante ao longo do tubo.
  • Áreas das seções:
A_{1}=\pi r_{1}^{2}=\pi(0,02)^{2}=\pi\cdot 0,0004\\ \mathrm{m^{2}},
A_{2}=\pi r_{2}^{2}=\pi(0,04)^{2}=\pi\cdot 0,0016\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Razão entre áreas:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{0,02}{0,04}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
  • Da continuidade:
Q=A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\quad\Rightarrow\quad v_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1}=\tfrac{1}{4}v_{1}.
Explicando em palavras: a seção larga tem 4 vezes a área, então a velocidade lá é 4 vezes menor que na seção estreita.

Passo 3

Bernoulli (mini-aula):
  • Para escoamento ideal, permanente e sem trocas de energia por bomba/trabalho, a equação de Bernoulli entre dois pontos é
p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}+\rho g z=\text{constante},
onde p é a pressão estática, \rho é a densidade do fluido, v é a velocidade média, e z é a cota vertical (altura).
  • Aplicando Bernoulli entre o ponto na primeira seção (1, cota z_{1}) e o ponto na segunda seção (2, cota z_{2}=z_{1}+h):
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g z_{2}.
  • O enunciado disse que as pressões nos dois trechos horizontais são iguais, então p_{1}=p_{2}. Subtraindo p_{1}=p_{2} e usando z_{2}=z_{1}+h obtemos:
\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g (z_{1}+h).
  • Cancelando \rho g z_{1} dos dois lados:
\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g h.
  • Simplificando (multiplicando por 2/\rho):
v_{1}^{2}=v_{2}^{2}+2 g h.
Isto diz que a diferença de energia cinética por massa entre os pontos compensa o ganho de energia potencial por massa \,g h.

Passo 4

Combinar Bernoulli com Continuidade:
  • Substituir v_{2}=\tfrac{1}{4}v_{1} em v_{1}^{2}=v_{2}^{2}+2 g h:
v_{1}^{2}=\left(\tfrac{1}{4}v_{1}\right)^{2}+2 g h=\tfrac{1}{16}v_{1}^{2}+2 g h.
  • Isolar v_{1}^{2}:
v_{1}^{2}-\tfrac{1}{16}v_{1}^{2}=2 g h\quad\Rightarrow\quad \left(1-\tfrac{1}{16}\right)v_{1}^{2}=2 g h.
\tfrac{15}{16}v_{1}^{2}=2 g h\quad\Rightarrow\quad v_{1}^{2}=\frac{16}{15}\cdot 2 g h=\frac{32}{15}\,g h.

Passo 5

Cálculo numérico e vazão:
  • Substituir g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=3{,}0\\ \mathrm{m}:
v_{1}^{2}=\frac{32}{15}\cdot 10\cdot 3=\frac{32}{15}\cdot 30=\frac{960}{15}=64.
v_{1}=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{m/s}.
  • Então v_{2}=\tfrac{1}{4}v_{1}=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão Q=A_{1}v_{1}:
Q=\pi r_{1}^{2}v_{1}=\pi(0,02)^{2}\cdot 8=\pi\cdot 0,0004\cdot 8=\pi\cdot 0,0032\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m^{3}/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q=0,0032\pi\\ \mathrm{m^{3}/s}=3{,}2\pi\\ \mathrm{L/s}.
  • Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (b).

Passo 6

Resumo físico e incentivo:
  • Resultado intuitivo: o escoamento na seção estreita é rápido (8 m/s) porque precisa fornecer a vazão; ao subir 3\\ \mathrm{m} parte da energia cinética é convertida em energia potencial, então a velocidade na seção larga fica menor (2 m/s). A pressão ficou igual porque as perdas por resistência foram desprezadas (escoamento ideal).
  • Boa! Você conseguiu chegar ao número final combinando continuidade e Bernoulli — duas ferramentas que caem muito em prova. Respira, revise este passo a passo e pratica mais um ou dois exercícios semelhantes que eu te ajudo.

Resposta

b) Q=3,2\pi\\ \mathrm{L/s}

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