e)
53. Em um sistema de abastecimento por gravidade, a água escoa por um tubo horizontal de raio interno
. Em seguida, a tubulação sobe até uma altura de
e se conecta a outro trecho horizontal, mais largo, de raio interno
. Sensores indicam que a pressão nos dois trechos horizontais é a mesma. Admita escoamento ideal e permanente, com
.
Determine a vazão volumétrica Q no sistema.
a)
b)
c)
d)
53. Em um sistema de abastecimento por gravidade, a água escoa por um tubo horizontal de raio interno
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas em SI):
- raio do trecho estreito:
(peguei do enunciado, que deu ); - raio do trecho largo:
(peguei do enunciado, que deu ); - diferença de altura entre os trechos horizontais:
(peguei do enunciado); - a pressão medida nos dois trechos horizontais é a mesma (informação do enunciado);
- escoamento ideal e permanente (informação do enunciado);
- aceleração da gravidade:
(informação do enunciado).
O que é pedido:
- determinar a vazão volumétrica
do sistema (ver alternativas fornecidas).
Passo 2
Continuidade (conservação de massa para escoamento incompressível):
- Definição: a vazão volumétrica é
, onde é a área da seção transversal e é a velocidade média do fluido nessa seção. Aqui o fluido é água incompressível, então é constante ao longo do tubo. - Áreas das seções:
- Razão entre áreas:
- Da continuidade:
Explicando em palavras: a seção larga tem 4 vezes a área, então a velocidade lá é 4 vezes menor que na seção estreita.
Passo 3
Bernoulli (mini-aula):
- Para escoamento ideal, permanente e sem trocas de energia por bomba/trabalho, a equação de Bernoulli entre dois pontos é
onde
é a pressão estática,
é a densidade do fluido,
é a velocidade média, e
é a cota vertical (altura).
- Aplicando Bernoulli entre o ponto na primeira seção (1, cota
) e o ponto na segunda seção (2, cota ):
- O enunciado disse que as pressões nos dois trechos horizontais são iguais, então
. Subtraindo e usando obtemos:
- Cancelando
dos dois lados:
- Simplificando (multiplicando por
):
Isto diz que a diferença de energia cinética por massa entre os pontos compensa o ganho de energia potencial por massa
.
Passo 4
Combinar Bernoulli com Continuidade:
- Substituir
em :
- Isolar
:
Passo 5
Cálculo numérico e vazão:
- Substituir
e :
- Então
- Vazão
:
- Converter para litros por segundo (
):
- Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (b).
Passo 6
Resumo físico e incentivo:
- Resultado intuitivo: o escoamento na seção estreita é rápido (8 m/s) porque precisa fornecer a vazão; ao subir
parte da energia cinética é convertida em energia potencial, então a velocidade na seção larga fica menor (2 m/s). A pressão ficou igual porque as perdas por resistência foram desprezadas (escoamento ideal). - Boa! Você conseguiu chegar ao número final combinando continuidade e Bernoulli — duas ferramentas que caem muito em prova. Respira, revise este passo a passo e pratica mais um ou dois exercícios semelhantes que eu te ajudo.
Resposta
b)