Em uma indústria química, um tanque cilíndrico é utilizado para realizar a mistura de um líquido incompressível. Durante o processo, o tanque gira em torno de seu eixo vertical com velocidade angular constante \omega. Após algum tempo, o líquido passa a girar solidariamente com o recipiente, sem escoamento relativo, atingindo o equilíbrio no referencial em rotação.
Considere dois pontos situados no mesmo plano horizontal dentro do líquido:
o ponto A, localizado sobre o eixo de rotação \left(\mathrm{r}_{\mathrm{A}}=0\right);
o ponto B, localizado a uma distância x do eixo \left(\mathrm{r}_{\mathrm{B}}=\mathrm{x}\right).
Sabendo que, no referencial em rotação, o fluido está em equilíbrio sob a ação da aceleração centrífuga \omega^{2} r, a expressão CORRETA para a diferença de pressão \mathrm{p}_{\mathrm{B}}-\mathrm{p}_{\mathrm{A}} é:
a) \rho \omega^{2} x
b) \rho \omega^{2} x^{2}
c) \quad \frac{1}{2} \rho \omega^{2} x^{2}
d) \rho g x
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Informações dadas:
O fluido é incompressível e está em equilíbrio no referencial em rotação com velocidade angular constante \omega.
Dois pontos no mesmo plano horizontal: A com \mathrm{r}_A=0 (no eixo) e B com \mathrm{r}_B=x (distância x do eixo).
No referencial em rotação o fluido está sujeito à aceleração centrífuga de módulo \omega^{2} r dirigida radialmente para fora.
O que o enunciado pergunta:
Determinar a diferença de pressão \mathrm{p}_{B}-\mathrm{p}_{A} entre os pontos B e A.
Escolher a expressão correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).
Passo 2
Entendendo o equilíbrio hydroestático no referencial em rotação (a ideia que precisamos usar).
Em equilíbrio estático (sem movimento relativo no referencial rotativo), o gradiente de pressão equilibra a força volumétrica (força por unidade de volume) sobre o fluido.
A força volumétrica causada pela rotação é a força centrífuga por unidade de massa \omega^{2} r multiplicada pela densidade \rho, ou seja a força volumétrica é \rho \omega^{2} r dirigida para fora.
Assim, tomando a componente radial (porque tudo varia com a distância radial r), a equação de equilíbrio é
\frac{dp}{dr}=\rho \omega^{2} r.
Aqui:
p é a pressão que depende de r,
r é a coordenada radial (distância ao eixo),
\rho é a densidade do líquido,
\omega é a velocidade angular.
Passo 3
Justificando a equação diferencial \frac{dp}{dr}=\rho\omega^{2}r de forma simples (passo-a-passo mental para a prova).
Considere um anel cilíndrico de fluido entre r e r+dr. A diferença de pressão entre as faces radiais fornece uma força resultante por unidade de volume que deve equilibrar a força centrífuga por unidade de volume \rho\omega^{2}r.
Esse balanço de forças leva exatamente à expressão diferencial acima. Não é necessário fazer o anel formalmente se souber a fórmula padrão de equilíbrio hidrostático com uma força volumétrica radial.
Passo 4
Integração da equação para obter a diferença de pressão entre r=0 (ponto A) e r=x (ponto B).
Integramos a equação diferencial entre os dois pontos:
\int_{p_A}^{p_B} dp \;=\; \int_{0}^{x} \rho \omega^{2} r\, dr.
No lado esquerdo a integral de dp dá p_B-p_A.
No lado direito \rho e \omega^{2} são constantes e saem da integral, sobrando a integral de r.
Passo 5
Cálculo da integral e obtenção da expressão final (mostrar cada conta).