Em uma indústria química, um tanque cilíndrico é utilizado para realizar a mistura de um líquido incompressível. Durante o processo, o tanque gira em torno de seu eixo vertical com velocidade angular constante \omega. Após algum tempo, o líquido passa a girar solidariamente com o recipiente, sem escoamento relativo, atingindo o equilíbrio no referencial em rotação.
Considere dois pontos situados no mesmo plano horizontal dentro do líquido:
o ponto A, localizado sobre o eixo de rotação \left(\mathrm{r}_{\mathrm{A}}=0\right);
o ponto B, localizado a uma distância x do eixo \left(\mathrm{r}_{\mathrm{B}}=\mathrm{x}\right).
Sabendo que, no referencial em rotação, o fluido está em equilíbrio sob a ação da aceleração centrífuga \omega^{2} r, a expressão CORRETA para a diferença de pressão \mathrm{p}_{\mathrm{B}}-\mathrm{p}_{\mathrm{A}} é:
a) \rho \omega^{2} x
b) \rho \omega^{2} x^{2}
c) \quad \frac{1}{2} \rho \omega^{2} x^{2}
d) \rho g x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • O fluido é incompressível e está em equilíbrio no referencial em rotação com velocidade angular constante \omega.
    • Dois pontos no mesmo plano horizontal: A com \mathrm{r}_A=0 (no eixo) e B com \mathrm{r}_B=x (distância x do eixo).
    • No referencial em rotação o fluido está sujeito à aceleração centrífuga de módulo \omega^{2} r dirigida radialmente para fora.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar a diferença de pressão \mathrm{p}_{B}-\mathrm{p}_{A} entre os pontos B e A.
    • Escolher a expressão correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Entendendo o equilíbrio hydroestático no referencial em rotação (a ideia que precisamos usar).
  • Em equilíbrio estático (sem movimento relativo no referencial rotativo), o gradiente de pressão equilibra a força volumétrica (força por unidade de volume) sobre o fluido.
  • A força volumétrica causada pela rotação é a força centrífuga por unidade de massa \omega^{2} r multiplicada pela densidade \rho, ou seja a força volumétrica é \rho \omega^{2} r dirigida para fora.
  • Assim, tomando a componente radial (porque tudo varia com a distância radial r), a equação de equilíbrio é
\frac{dp}{dr}=\rho \omega^{2} r.
Aqui:
  • p é a pressão que depende de r,
  • r é a coordenada radial (distância ao eixo),
  • \rho é a densidade do líquido,
  • \omega é a velocidade angular.

Passo 3

Justificando a equação diferencial \frac{dp}{dr}=\rho\omega^{2}r de forma simples (passo-a-passo mental para a prova).
  • Considere um anel cilíndrico de fluido entre r e r+dr. A diferença de pressão entre as faces radiais fornece uma força resultante por unidade de volume que deve equilibrar a força centrífuga por unidade de volume \rho\omega^{2}r.
  • Esse balanço de forças leva exatamente à expressão diferencial acima. Não é necessário fazer o anel formalmente se souber a fórmula padrão de equilíbrio hidrostático com uma força volumétrica radial.

Passo 4

Integração da equação para obter a diferença de pressão entre r=0 (ponto A) e r=x (ponto B).
  • Integramos a equação diferencial entre os dois pontos:
\int_{p_A}^{p_B} dp \;=\; \int_{0}^{x} \rho \omega^{2} r\, dr.
  • No lado esquerdo a integral de dp p_B-p_A.
  • No lado direito \rho e \omega^{2} são constantes e saem da integral, sobrando a integral de r.

Passo 5

Cálculo da integral e obtenção da expressão final (mostrar cada conta).
  • Calcule a integral do lado direito:
\int_{0}^{x} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Portanto
p_B-p_A = \rho \omega^{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}\rho\omega^{2}x^{2}.

Passo 6

Interpretação física rápida (para fixar na prova) e escolha da alternativa.
  • A diferença de pressão cresce com o quadrado da distância ao eixo: quanto mais longe do eixo, maior a pressão por causa da maior força centrífuga.
  • Comparando com as alternativas oferecidas, a expressão encontrada coincide com a alternativa (c).

Resposta

c) \displaystyle \frac{1}{2}\rho\omega^{2}x^{2}

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