Resolva as EDO’s abaixo usando o método da variação dos parâmetros.
2 y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}=x^{2};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
2y''' - 6y'' = x^2
usando variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear não homogênea de ordem 3. Para aplicar o método, vamos primeiro obter a solução geral da homogênea e depois definir uma solução particular da forma
y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 + u_3(x)y_3.

Passo 2

A homogênea associada é
2y''' - 6y'' = 0.
A equação característica é
2r^3 - 6r^2 = 2r^2(r - 3) = 0,
portanto r=0 (multiplicidade 2) e r=3. As soluções fundamentais são
y_1 = 1,\quad y_2 = x,\quad y_3 = e^{3x},
e a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{3x}.

Passo 3

Montamos a solução particular
y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2 + u_3(x)\,y_3
e impomos as condições usuais do método:
\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 + u_3'y_3 = 0,\\\ u_1'y_1' + u_2'y_2' + u_3'y_3' = 0,\\\ u_1'y_1'' + u_2'y_2'' + u_3'y_3'' = \dfrac{x^2}{2}, \end{cases}
onde dividimos o termo x^2 por 2 (coeficiente líder).

Passo 4

Como
y_1=1,\;y_1'=0,\;y_1''=0,\quad y_2=x,\;y_2'=1,\;y_2''=0,\quad y_3=e^{3x},\;y_3'=3e^{3x},\;y_3''=9e^{3x},
o sistema vira
\begin{cases} u_1' + x\,u_2' + e^{3x}u_3' = 0,\\\ u_2' + 3e^{3x}u_3' = 0,\\\\ 9e^{3x}u_3' = \dfrac{x^2}{2}. \end{cases}
Da terceira equação obtemos
u_3' = \frac{x^2}{18\,e^{3x}},
da segunda
u_2' = -3e^{3x}u_3' = -\frac{x^2}{6},
e, finalmente, da primeira
u_1' = \frac{x^2(3x - 1)}{18}.

Passo 5

Integramos cada derivada:
u_1(x) = \int \frac{x^2(3x - 1)}{18}\,dx = \frac{x^4}{24} - \frac{x^3}{54},
u_2(x) = \int -\frac{x^2}{6}\,dx = -\frac{x^3}{18},
u_3(x) = \int \frac{x^2}{18e^{3x}}\,dx
(essa última, ao ser multiplicada por e^{3x} em y_p, gera apenas termos da homogênea, que absorvemos em C_1,C_2).

Passo 6

Substituindo em
y_p = u_1\cdot1 + u_2\cdot x + u_3\cdot e^{3x}
e descartando os pedaços que coincidem com y_h, achamos
y_p = -\frac{x^4}{72} - \frac{x^3}{54} - \frac{x^2}{54}.

Passo 7

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{3x} -\frac{x^4}{72} - \frac{x^3}{54} - \frac{x^2}{54}.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{3x} -\frac{x^4}{72}-\frac{x^3}{54}-\frac{x^2}{54}.

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