1. (UNIFOR 2014) Uma torneira T_{1} enche um tanque de volume V em 6 horas. A torneira \mathrm{T}_{2} enche o mesmo tanque em 8 horas, e a torneira esvazia esse mesmo tanque em 4 horas. Se o tanque está vazio e todas as torneiras foram abertas ao mesmo tempo, o percentual do volume do tanque em 6 horas é de:
    a) 25 \%
    b) 30 \%
    c) 45 \%
    d) 60 \%
    e) 65 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo tirado do enunciado):
  • A torneira T_{1} enche o tanque de volume V em 6 horas.
  • A torneira T_{2} enche o mesmo tanque em 8 horas.
  • A torneira que esvazia (vou chamar de T_{3}) esvazia o tanque em 4 horas.
  • O tanque começa vazio e todas as torneiras foram abertas ao mesmo tempo.
    O que o problema pede:
  • Determinar qual a percentagem do volume do tanque que estará ocupada após 6 horas.

Passo 2

Entendendo taxa de enchimento/esvaziamento (uma mini-aula):
  • Quando dizemos que uma torneira enche o tanque em t horas, a taxa dessa torneira é “fração do tanque por hora” igual a \dfrac{V}{t}. Por exemplo, se algo enche em 6 horas, ela fornece \dfrac{V}{6} por hora.
  • Se uma torneira esvazia, sua taxa é negativa (pois reduz o volume).
  • Quando várias torneiras atuam simultaneamente, a taxa líquida é a soma das taxas individuais (linearidade). Isso porque os volumes por hora se somam/aritimeticamente se anulam.
    Aplicando isso aqui:
  • Taxa de T_{1}: \dfrac{V}{6} (por hora).
  • Taxa de T_{2}: \dfrac{V}{8} (por hora).
  • Taxa de T_{3} (esvaziando): -\dfrac{V}{4} (por hora).

Passo 3

Calcular a taxa líquida somando as três taxas. Vou colocar em forma fracionária com denominador comum para ficar limpinho:
\text{taxa líquida}=\dfrac{V}{6}+\dfrac{V}{8}-\dfrac{V}{4}í
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 24:
\text{taxa líquida}=V\left(\dfrac{4}{24}+\dfrac{3}{24}-\dfrac{6}{24}\right) =V\left(\dfrac{4+3-6}{24}\right)=V\left(\dfrac{1}{24}\right).í
Portanto a taxa líquida é \dfrac{V}{24} por hora (ou seja, a cada hora entra \tfrac{1}{24} do tanque).

Passo 4

Calcular o volume que entrou em 6 horas: multiplica-se a taxa líquida pelo tempo.
\text{volume após }6\text{ h} = \left(\dfrac{V}{24}\right)\cdot 6 = V\cdot \dfrac{6}{24} = V\cdot \dfrac{1}{4}.ó
Assim, após 6 horas o tanque contém \dfrac{1}{4} do seu volume V.

Passo 5

Converter a fração em percentagem:
\dfrac{1}{4}=0{,}25=25\%.
Um cheque de sanidade rápido (numérico): as taxas em fração do tanque por hora são T_{1}: \tfrac{1}{6}\approx0{,}1667, T_{2}: \tfrac{1}{8}=0{,}125, T_{3}:-\tfrac{1}{4}=-0{,}25. Soma: 0{,}1667+0{,}125-0{,}25=0{,}041666\ldots=\tfrac{1}{24}. Multiplicando por 6 0{,}25 novamente. Tudo coerente — respira, deu bonito!

Resposta

25%

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